Question

已知如图①，在△AOB，△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=55°，
（1）求证：①AC=BD；②∠APD=125°．
（2）如图②，在△AOB和△COD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=α，则AC与BD间的等量关系为

 

，
∠APB的大小为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）①求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可；
②根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，求出∠APB=180°-（∠PAB+∠ABO+∠PBO）=∠AOB，即可得出答案；
（2）求出∠AOC=∠BOD，证出△AOC≌△BOD，根据全等三角形的性质推出即可；根据△AOC≌△BOD推出∠OAC=∠OBD，求出∠APB=180°-（∠PAB+∠ABO+∠PBO）=∠AOB，即可得出答案．

解答：（1）①证明：∵∠AOB=∠COD=55°，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中

OA=OB ∠AOC=∠BDO OC=OD

∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD；
②证明：∵△AOC≌△BOD，
∴∠OAC=∠OBD，
∵∠APB=180°-（∠PAB+∠ABO+∠PBO）
=180°-（∠PAB+∠ABO+∠OAC）
=∠AOB
=55°，
∴∠APD=180°-55°=125°；

（2）解：AC=BD，∠APB的大小为α，
理由是：∵∠AOB=∠COD=α，
∴∠AOB+∠BOC=∠COD+∠BOC，
∴∠AOC=∠BOD，
在△AOC和△BOD中，

OA=OB ∠AOC=∠BDO OC=OD

，
∴△AOC≌△BOD（SAS），
∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，
∵∠APB=180°-（∠PAB+∠ABO+∠PBO）
=180°-（∠PAB+∠ABO+∠OAC）
=∠AOB
=α．
故答案为：相等，α．

点评：本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形的内角和定理的应用，注意：①全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，②全等三角形的对应边相等，对应角相等．