Question

如图①，△ABC是一个等腰直角三角形纸板，点O为斜边BC的中点，腰长为14cm．将另一个等腰直角三角形的纸板的一个顶点放在点O处，与直角边AB、AC分别相交于D、E两点．
（1）如图②，当另一个等腰直角三角形纸板的直角顶点放在点O处时，连结AO；
①试说明△BOD≌△AOE．
②连结DE，若AD=6cm时，求DE的长度．
（2）如图③，当另一个等腰直角三角形纸板的锐角顶点放在点O处时，且AD=5cm时；试求DE的值．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）①易证∠AOE=∠BOD，OA=OB，即可求证△BOD≌△AOE；
②连接DE，根据△BOD≌△AOE可以求得AE的长，根据勾股定理可以求得DE的长，即可解题；
（2）连接DE，AO，在AB中找到F点使得BF=AE，易证△OBF≌△OAE，可得OE=OF，BF=AE，∠BOF=∠AOE，即可证明△DOF≌△DOE，即可求得BD=AE+DE，再根据AD²+AE²=DE²，即可求得DE的长，即可解题．

解答：（1）①证明：∵∠AOE+∠AOD=90°，∠AOD+∠BOD=90°，
∴∠AOE=∠BOD，
∵点O为等腰直角三角形ABC斜边BC的中点，
∴OA=OB，
∴在△BOD和△AOE中，

∠B=∠OAE=45° BO=AO ∠BOD=∠AOE

，
∴△BOD≌△AOE，（ASA）；
②解：连接DE，

∵△BOD≌△AOE，
∴AE=BD=14-6=8，
∴DE=

AE2+AD2

=10；

（2）解：连接DE，AO，在AB中找到F点使得BF=AE，

∵O是等腰直角△ABC斜边BC中点，
∴AO=BO，∠B=∠CAO=45°，
∵在△OBF和△OAE中，

OB=OA ∠B=∠EAO=45° BF=AE

，
∴△OBF≌△OAE，（SAS）
∴OE=OF，BF=AE，∠BOF=∠AOE，
∵∠AOF+∠BOF=90°
∴∠AOF+∠AOE=90°，
∵∠DOE=45°，
∴∠DOF=45°，
∵在△DOF和△DOE中，

OF=OE ∠DOE=∠DOF=45° OD=OD

，
∴△DOF≌△DOE，（SAS）
∴DF=DE，
∴BD=BF+DF=AE+DE，
∵AD=5cm，AB=14cm，
∴BD=9cm，
∴DE+AE=9cm，
∵RT△ADE中，AD²+AE²=DE²，
∴DE=

53

9

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角、对应边相等的性质，考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中求证△OBF≌△OAE和△DOF≌△DOE是解题的关键．