Question

如图，H、Q分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且BH=BQ，过B作HC的垂线，垂足为P．求证：DP⊥PQ．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：证明题

分析：首先证明△BPC∽△HBC，得到CP/BC=BP/BH=BC/HC，进而证明CP/CD=BP/BQ；由∠PCD=∠BHC=∠PBC，证明△BPQ∽△PDC，得到∠BPQ=∠CPD，即可解决问题．

解答：解：如图，∵四边形ABCD为正方形，
∴BC=CD，AB∥CD；∠ABC=∠BCD；
∴∠PCD=∠BHC；
∵BP⊥HC，
∴∠PBC+∠BCH=90°，而∠PBC+∠PBH=90°，
∴∠PBC=∠BHC，∠HCB=∠BCP，
∴△BPC∽△HBC；
∴CP：BC=BP：BH=BC：HC，
∵BH=BQ，BC=CD，
∴CP：CD=BP：BQ，而∠PCD=∠BHC=∠PBC，
∴△BPQ∽△PDC，
∴∠BPQ=∠CPD，∠CPD+∠QPC=90°，
∴DP⊥PQ．

点评：该题以正方形为载体，以考查正方形的性质、相似三角形的判定及其性质等几何知识点应用为核心构造而成；解题的关键是灵活运用有关定理来分析、判断、推理或解答．