Question

如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA=x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）当P也是AD边中点时，求AF的值；
（3）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值；
（4）当点F与点E重合时，设PF交CD于点G，试判断∠GAE与∠BAE的大小关系并说明理由．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先证明∠PAF=∠AEB，再由∠PFA=∠ABE=90°，即可证出△PFA∽△ABE．
（2）当P是AD的中点时，AP=2，由△PFA∽△ABE，得出

AF

BE

=

AP

AE

，即

AF

2

=

2

2 5

，∴AF=

2 5

5

；
（3）分两种情况：当△EFP∽△ABE时，则PE∥AB，得出四边形ABEP为矩形．求出PA=EB=2，即x=2；当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，先求出∠PAF=∠AEB，AE=

AB2+BE2

=

42+22

=2

5

，再得出EF=

1

2

AE=

5

，由

PE

AE

=

EF

EB

，求出PE=5，即x=5；
（4）先证明△ECG∽△ABE，求出CG、EG，再证明△AEG∽△ABE，即可得出∠GAE=∠BAE．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，AB=BC=AD=4，
∴∠ABE=90°．
∴∠PAF=∠AEB．
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA=∠ABE=90°．
∴△PFA∽△ABE．

（2）解：当P是AD的中点时，AP=2，
∵△PFA∽△ABE，
∴

AF

BE

=

AP

AE

，即

AF

2

=

2

2 5

，
∴AF=

2 5

5

；

（3）解：分两种情况：
①当△EFP∽△ABE，且∠PEF=∠EAB时，
则有PE∥AB
∴四边形ABEP为矩形．
∴PA=EB=2，即x=2．
②当△PFE∽△ABE，且∠PEF=∠AEB时，
∵∠PAF=∠AEB，
∴∠PEF=∠PAF．
∴PE=PA．
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵AE=

AB2+BE2

=

42+22

=2

5

，
∴EF=

1

2

AE=

5

，
∵

PE

AE

=

EF

EB

，即

PE

2 5

=

5

2

，
∴PE=5，即x=5；
∴满足条件的x的值为2或5；

（4）∠GAE=∠BAE；
解：如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=90°，AB=BC=4，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE=2，
∴AE=

42+22

=2

5

，
∵PE⊥AE，
∴∠AEP=90°，∠AEB+∠CEG=90°，
∴∠CEG=∠BAE，
∴△ECG∽△ABE，
∴

CG

BE

=

CE

AB

，即

CG

2

=

2

4

，
∴CG=1，
∴EG=

12+22

=

5

，
∵

EG

AE

=

5

2 5

=

1

2

，

BE

AB

=

2

4

=

1

2

，
∴

EG

AE

=

BE

AB

，
又∵∠AEP=∠B=90°，
∴△AEG∽△ABE，
∴∠GAE=∠BAE．

点评：本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出比例式是解决问题的关键．