Question

如图，在菱形ABCD中，AC=6，BD=8．
（1）求sin∠ABD．
（2）扬扬发现∠ABC=2∠ABD，于是她推测：sin∠ABC=2sin∠ABD，它的推测正确吗？请通过本题图形中的数据予以说明．

Answer 1

考点：菱形的性质,勾股定理,解直角三角形

专题：

分析：（1）由菱形的性质可得AC⊥BD，AO=3，BO=4，△ABO是直角三角形，再利用勾股定理可得到AB=5，再利用正弦的定义即可求得sin∠ABD的值；
（2）作AE⊥BC，构筑直角三角形ABE，利用平行四边形的面积求得AE的长度，再在直角三角形ABE中，利用正弦的定义即可求得sin∠ABC，从而可证sin∠ABC与2sin∠ABD不相等．

解答：解：（1）设AC、BD交于点O，
则AO⊥BO，AO=3，BO=4，
根据勾股定理得AB=

32+42

=5，
∴sin∠ABD=

3

5

．
（2）不正确．
理由：如图，作AE⊥BC，垂足为E，菱形ABCD的面积=

1

2

AC×BD=BC×AE，
即

1

2

×6×8=5×AE，
得AE=

24

5

，
所以sin∠ABC=

AE

AB

=

24 5

5

=

24

25

．
由（1）得sin∠ABD=

3

5

，
∴2sin∠ABD=2×

3

5

=

6

5

≠sin∠ABC，
即扬扬的推测不正确．

点评：本题主要考查菱形的性质，面积公式及锐角三角函数中正弦的定义，掌握好菱形的性质和正弦定义是解题的关键．