Question

1．如图，△ABC中，AB=AC，AD=BC，AD平分∠BAC，交BC于点D．延长BC使得BC=2CE，过点E作EF⊥CE且EF=CE．连接AF，点H在线段AF上，且满足∠ACD=∠HCE．
（1）若CE=2，求AB的长；
（2）求证：①AB=AF；②CH⊥AF．

Answer 1

分析 （1）根据已知条件得到DB=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，AD⊥BC，推出AD=BC=4，根据勾股定理即可得到结论；
（2）①延长EF，过A作AM⊥EF于点M，于是得到四边形ADEM为矩形，根据矩形的性质得到AD=AM，DE=EM，求得DC=MF，推出△ADC≌△AMF，根据全等三角形的性质得到AC=AF，等量代换即可得到结论；
②根据全等三角形的性质得到∠ACD=∠AFM，等量代换得到∠ECH=∠AFM，推出∠CHF=90°，即可得到结论．

解答 解：（1）∵BC=2CE=2×2=4，AB=AC，AD平分∠BAC，
∴DB=DC=$\frac{1}{2}$BC=2，AD⊥BC，
∴AD=BC=4，
在Rt△ABD中：$AB=\sqrt{A{D^2}+B{D^2}}$=$\sqrt{{2^2}+{4^2}}$=$2\sqrt{5}$，

（2）①延长EF，过A作AM⊥EF于点M，
∴∠ADE=∠E=∠AME=90°
∴四边形ADEM为矩形，
∴AD=AM，DE=EM，
∴DE-CE=EM-EF，
即：DC=MF，
在△ADC与△AMF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=AM}\\{∠ADC=∠M}\\{CD=MF}\end{array}\right.$，
∴△ADC≌△AMF，
∴AC=AF，
∵AC=AB，
∴AB=AF；
②∵△ADC≌△AMF，
∴∠ACD=∠AFM，
∵∠ACD=∠ECH，
∴∠ECH=∠AFM，
又∵∠EFH+∠AFM=180°，
∠HCE+∠EFH=180°，
∴∠CHF=90°，
∴CH⊥AF．

点评 本题考查了全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理，角平分线的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．