Question

【题目】如图，在ABCD中，O为对角线AC的中点，EF经过点O并与AB，CD分别相交于点E，F．

（1）求证：AE=CF；
（2）当EF⊥AC时，连接AF，CE，试判断四边形AFCE是怎样的四边形？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，∴∠EAO=∠FCO，

∵O为AC的中点，

∴OA=OC，

在△AOE和△COF中， ，

∴△AOE≌△COF（ASA），

∴AE=CF；

（2）

解：如图所示：四边形AFCE是菱形；

理由如下：

由（1）得：△AOE≌△COF，

∴OE=OF，

∵OA=OC，

∴四边形AFCE是平行四边形，

又∵EF⊥AC，

∴四边形AFCE是菱形．

【解析】（1）由ASA证明△AOE≌△COF，的长对应边相等即可；（2）先由对角线互相平分证出四边形AFCE是平行四边形，再由EF⊥AC，即可证出四边形AFCE是菱形．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行四边形的性质的相关知识，掌握平行四边形的对边相等且平行；平行四边形的对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分，以及对菱形的判定方法的理解，了解任意一个四边形，四边相等成菱形；四边形的对角线，垂直互分是菱形．已知平行四边形，邻边相等叫菱形；两对角线若垂直，顺理成章为菱形．