Question

【题目】如图：

(1)（问题背景）如图1，等腰△ABC，AB=AC,∠BAC=120°，则=________.

(2)（迁移应用）如图2，△ABC和△ABE都是等腰三角形，∠BAC=∠DAE=120°,D,E,C三点在同-条直线上，连结BD．求线段AD，BD，CD之间的数量关系式；

(3)（拓展延伸）如图3，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，在∠ABC内作射线BM，作点C关于BM的对称点E，连结AE并延长交BM于点F，连结CE, CF．若AE=4，CE=1．求BF的长.

Answer 1

【答案】(1)；(2)CD=AD+BD；(3)2.

【解析】

问题背景：作AD⊥BC于D，根据等腰三角形的性质得到BD=CD，根据三角形内角和定理求出∠ABC，根据余弦的定义计算即可；

迁移应用：证明△DAB≌△EAC，根据全等三角形的性质得到BD=CE，由问题背景得到CD、AD、BD的关系；

拓展延伸：作BG⊥AE于G，连接BE．由BM垂直平分CE，可得∠EBF=∠CBF，再根据AB=BE，BG⊥AE，可得∠ABG=∠EBG，进而得出∠GBF=∠ABC=60°，在四边形BCEG中，求得∠CEG=120°，得到∠CEF=60°，依据FE=FC，得到△EFC是等边三角形，由AE=4，EC=EF=1，可得AG=GE=2，FG=3，再根据在Rt△BGF中，∠BFG=30°，即可得到BF．

问题背景：如图1，作AD⊥BC于D，

∵AB=AC，∠BAC=120°，

∴BD=CD，∠ABC=30°，

cosB=，即，

∴BC=AB，即，

故答案为；

迁移应用：如图2，∵∠BAC=∠DAE，

∴∠DAB=∠EAC，

在△DAB和△EAC中，

，

∴△DAB≌△EAC（SAS），

∴BD=CE，

由问题背景可知，DE=AD，

∴CD=DE+EC=AD+BD；

拓展延伸：证明：如图3，作BG⊥AE于G，连接BE，

∵E、C关于BM对称，

∴BC=BE，FE=FC，BF⊥CE，

∴∠EBF=∠CBF，

∵在菱形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，

∴AB=BE，又BG⊥AE，

∴∠ABG=∠EBG，

∴∠EBG+∠EBF=∠ABC=60°，

∴四边形BNEG中，∠CEG=360°-90°-90°-60°=120°，

∴∠CEF=60°，又FE=FC，

∴△EFC是等边三角形，

∵AE=4，EC=EF=1，

∴AG=GE=2，FG=3，

在Rt△BGF中，∠BFG=30°，

∴BF==2．