Question

如图，在△ABC中，延长AC至点D，使CD=BC，连接BD，作CE⊥AB于点E，DF⊥BC交BC的延长线于点F，且CE=DF．
（1）求证：AB=AC；
（2）如果∠ABD=105°，求∠A的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）先由HL判定Rt△BCE≌Rt△CDF，得到∠ABC=∠DCF，然后由对顶角相等可得：∠DCF=∠ACB，进而可得∠ABC=∠ACB，然后由等角对等边，可得AB=AC；
（2）由CD=BC，可得∠CBD=∠CDB，然后由三角形的外角的性质可得：∠ACB=∠CBD+∠CDB=2∠CBD，由∠ABC=∠ACB，进而可得：∠ABC=2∠CBD，然后由∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，进而可求：∠CBD的度数及∠ABC的度数，然后由三角形的内角和定理即可求∠A的度数．

解答： （1）证明：∵CE⊥AB，DF⊥BC，
∴△BCE和△DCF均是直角三角形，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，

BC=CD CE=DF

，
∴Rt△BCE≌Rt△DCF（HL），
∴∠ABC=∠DCF，
∵∠DCF=∠ACB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；
（2）解：∵CD=BC，
∴∠CBD=∠CDB，
∵∠ACB=∠CBD+∠CDB，
∴∠ACB=2∠CBD，
∵∠ABC=∠ACB，
∴∠ABC=2∠CBD，
∵∠ABD=∠ABC+∠CBD=3∠CBD=105°，
∴∠CBD=35°，
∴∠ABC=2∠CBD=70°，
∴∠A=180°-2∠ABC=40°．

点评：此题考查了直角三角形全等的判定与性质，及等腰三角形判定与性质，解题的关键是：熟记三角形全等的判定与性质．