Question

【题目】已知：如图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”，试解答下列问题：

（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系；
（2）在图2中，若∠D=40°，∠B=36°，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，利用（1）的结论，试求∠P的度数；
（3）如果图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系？并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）∠A+∠D=∠C+∠B
（2）解：由（1）可知，∠1+∠D=∠P+∠3，①

∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，

即2∠P=∠D+∠B，

又∵∠D=40°，∠B=36°，

∴2∠P=40°+36°=76°，

∴∠P=38°

（3）解：∠P与∠D、∠B之间存在的关系为2∠P=∠D+∠B．

∵∠1+∠D=∠P+∠3，①

∠4+∠B=∠2+∠P，②

∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

由①+②得：∠1+∠D+∠4+∠B=∠P+∠3+∠2+∠P，

即2∠P=∠D+∠B．

【解析】解：（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等，可得结论：∠A+∠D=∠C+∠B；所以答案是：∠A+∠D=∠C+∠B；
【考点精析】掌握三角形的内角和外角和三角形的外角是解答本题的根本，需要知道三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角；直角三角形的两个锐角互余；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角；三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角；三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．