Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，等腰△OAB的顶点A在第一象限，底边OB在x轴的正半轴上，且AO=AB=10cm，OB=12cm．动点C从点A出发，沿AO边向O点运动（不与O点重合），速度为1cm/s，运动时间为ts．过点C作CD∥OB交AB于点D．以CD为边，在点A的异侧作正方形CDEF．
（1）若正方形CDEF与△OAB重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（2）连接OF，当t为何值时，△OCF为等腰三角形？

Answer 1

考点：相似形综合题,解一元二次方程-公式法,等腰三角形的性质,勾股定理,平行四边形的判定与性质,正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题,分类讨论

分析：（1）首先考虑点F在OB上时所对应的S和t的值，然后分别对点F在△OAB内部、外部进行讨论，就可解决问题．
（2）由于△OCF为等腰三角形时腰并不确定，因此可分三种情况（①FO=FC，②CO=CF，③OC=OF）进行讨论，只需根据线段之间的数量关系建立关于t的方程，就可解决问题．

解答：解：（1）①当点F在OB上时，
过点A作AH⊥OB于H，交CD于G，如图1①．

则有∠AHE=90°．
∵四边形CDEF是正方形，
∴CD=CF，∠DCF=∠CFE=90°．
∴∠AHE=∠CFE=90°．
∴CF∥GH．
∴∠AGC=∠DCF=90°．
∴AG⊥CD．
∵CD∥OB，CF∥GH，
∴四边形CGHF是平行四边形．
∴CF=GH．
∵AO=AB，AH⊥OB，
∴OH=BH=

1

2

OB=6．
∵∠AHO=90°，OA=10，OH=6，
∴AH=8．
设正方形CDEF的边长为x，
则GH=CF=CD=x，AG=AH-GH=8-x．
∵CD∥OB，∴△ACD∽△AOB．
∵AG⊥CD，AH⊥OB，
∴

AG

AH

=

CD

OB

=

AC

AO

．
∴

8-x

8

=

x

12

=

t

10

．
解得：x=

24

5

，t=4．
∴S=

576

25

．
②当点F在△OAB内部时，0＜t＜4，如图1②．

∵△ACD∽△AOB，
∴

CD

OB

=

AC

AO

．
∴

CD

12

=

t

10

．
∴CD=

6t

5

．
∴S=CD²=

36t2

25

．
③当点F在△OAB外部时，4＜t＜10，
过点A作AH⊥OB于H，如图1③．

则有CD=

6t

5

，OC=10-t，AH=8，CM∥AH．
∴△OMC∽△OHA．
∴

CM

AH

=

OM

OH

=

OC

OA

．
∴

CM

8

=

OM

6

=

10-t

10

．
∴CM=8-

4t

5

，OM=6-

3t

5

．
∴S=CD•CM=

6t

5

•（8-

4t

5

）=-

24

25

t²+

48

5

t．
综上所述：当0＜t≤4时，S=

36t2

25

；当4＜t＜10时，S=-

24

25

t²+

48

5

t．

（2）①若FO=FC，如图2①．

此时点F在△OAB内部，0＜t＜4．
过点A作AH⊥OB于H，延长CF交OB于点T，
由（1）得：CF=CD=

6t

5

，CT=8-

4t

5

，OT=6-

3t

5

．
则FT=CT-CF=8-

4t

5

-

6t

5

=8-2t．
∵∠FTO=90°，∴FT²+OT²=OF²．
∴（8-2t）²+（6-

3t

5

）²=（

6t

5

）²．
整理得：73t²-980t+2500=0．
解得：t₁=

250

73

，t₂=10．
∵0＜t＜4，∴t=

250

73

．
②若CO=CF，如图2②．
此时点F在△OAB外部，4＜t＜10．

∵CF=CD=

6t

5

，OC=10-t，CF=CO，
∴

6t

5

=10-t．
解得：t=

50

11

．
③若OC=OF，如图2③．

此时点F在△OAB外部，4＜t＜10．
则有CM=8-

4t

5

，CF=CD=

6t

5

．
∵OC=OF，OM⊥CF，
∴CM=FM=

1

2

CF．
∴8-

4t

5

=

1

2

×

6t

5

．
解得：t=

40

7

．
综上所述：当t为

250

73

秒或

50

11

秒或

40

7

秒时，△OCF为等腰三角形．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等腰三角形的性质、平行四边形的判定与性质、解一元二次方程、勾股定理等知识，有一定的综合性，而考虑临界位置及分类讨论则是解决本题的关键．