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【题目】Rt中,AB=BC=4,将一直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点P处,将三角板绕点P旋转,三角板的两直角边分别与边ABBC或其延长线上交于DE两点(假设三角板的两直角边足够长),如图(1)、图(2)表示三角板旋转过程中的两种情形.

1)直角三角板绕点P旋转过程中,当______时,是等腰三角形;

2)直角三角板绕点P旋转到图(1)的情形时,求证:PD=PE

3)如图(3),若将直角三角板的顶点放在斜边AC的点M处,设(为正数),求证:.

【答案】102;(2)见解析;(3)见解析

【解析】

1)根据PEC是等腰三角形,分类进行讨论即可;

2)连接BP,首先根据题干条件证明出∠BPD=∠CPE,然后证明DPB≌△EPC,于是证明出PDPE

3)过M分别作ABBC的垂线,垂足分别为GH,首先根据角之间的关系求出∠GMD=∠HME,进而证明出MGD∽△MHE,根据相似三角形对应边成比例,得到,再求出GMHM关于mn的表达式,三式结合求出MDME之间的比例关系.

解:(1)当BE0时,即点B和点E重合,故可知PEC是等腰三角形,

BE2时,即EBC的中点,可得PEC是等腰三角形

由题干条件知PC,当CPCEPEC是等腰三角形,BE4

EBC的延长线上时,CECPPEC是等腰三角形,BE4

故答案为:0244

2)连接BP

ABBC 且∠ABC90°

∴∠C45°

又∵PAC中点,

BPACBPPC 且∠ABP=∠CBP45°

∴∠CPE+∠EPB90°

DPPE

∴∠BPD+∠EPB90°

∴∠BPD=∠CPE

DPBEPC中,

∴△DPB≌△EPC

PDPE

3)过M分别作ABBC的垂线,垂足分别为GH

由作图知,∠MGA=∠MGB=∠MHB=∠MHE90°

又∵∠B90°

∴∠GMH90°

∴∠GMD+∠DMH90°

∵∠DMH+∠HME90°

∴∠GMD=∠HME

∴△MGD∽△MHE

①,

∵∠MGA=∠B90°

GMBC

,即GMBC

同理 HMAB

ABBC

HMBC

②③代入①得:

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其中正确结论的个数是(  )

A. 4B. 3C. 2D. 1

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