Question

【题目】如图1，点P（m，n）在一次函数 的图像上，将点P绕点A（，）逆时针旋转45°，旋转后的对应点为P．

（1）当时，求点P的坐标；

（2）试说明：不论m为何值，点P的纵坐标始终不变；

（3）如图2，过点P作x轴的垂线交直线AP于点B，若直线PB与二次函数 的图像交于点Q，当m＞0时，试判断点B是否一定在点Q的上方，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）理由见解析；（3）点 B一定在点Q的上方，理由见解析

【解析】

（1）如图 当m=0时，P与O重合，过A作⊥直线y=-x，过 作直线∥x轴，交直线y=-x于M点，过A作AH⊥于H，可以求出直线的解析式，进而求出，由长度公式可得，证明 即可求出答案；

（2）无论m＜0,m=0,m＞0时，均有 故故可得出：点的纵坐标；

（3）求出与的交点，分P在交点的左右两侧及交点上进行画图，由图像即可得出：点 B一定在点Q的上方．

（1）如图 当m=0时，P与O重合

过A作⊥直线y=-x

故设直线的解析式为

把 代入可得

所以

∴

∵

∴

∴

∵

由长度公式可得

∵y=-x

∴∠1=45°

∴∠2=180°-45°=135°

过 作直线∥x轴，交直线y=-x于M点，过A作AH⊥于H

∴∠AHP==90°

∴在四边形中：

∴

∴

∵ ，

∴

∴

∵

∴H点的纵坐标为：

∴

∴的横坐标为：

∴

；

（2）当m＜0,m=0,m＞0时,点P 的纵坐标均为，证明过程如下：

当m＜0,m=0,m＞0时，均有：

∵y=-x

∴∠1=45°

∴∠2=180°-45°=135°

过 作直线∥x轴，交直线y=-x于M点，过A作AH⊥于H

∴∠AHP==90°

∴在四边形中：

∴

∴

∵ ，

∴

故

∴点的纵坐标为：

故：当m＜0,m=0,m＞0时,点P 的纵坐标均为

（3）点 B一定在点Q的上方，理由如下：

∵

解得: 或

∴ 与 交于C ,D 两点

∴由图像可知当 时

∠QAP<45°，∠BAP=45°

故B在Q的上方

当 时，由图像可知：P、Q、D三点重合

点 B一定在点Q的上方

当 时，由图像可知：

Q在直线y=-x的下方B在直线y=-x的上方

∴B在Q的上方

综上所述：当m>0时，点 B一定在点Q的上方