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【题目】已知正方形ABCD,对角线ACBD交于点O,线段OEOF,且与边ADAB交于点EF

1)求证:OEOF

2)连接EF,交AC于点H,若HFAF2,求OHEF

3)若EF分别在DAAB延长线上,OEAB交于点M,若MOF∽△EAFAF1,求正方形ABCD的边长.

【答案】1)见解析;(2;(3)正方形的边长为2

【解析】

1)证明EOA≌△FOBASA)即可解决问题;

2)证明OEH∽△FAH,推出,可得,由EFOE,可得,由此即可解决问题;

3)首先证明OAOBBF,设OAOBBFx,则ABx,根据AF1,构建方程即可解决问题.

1)证明:如图1中,

∵四边形ABCD是正方形,

OAOBACBD,∠EAO=∠OBF45°

OEOF

∴∠EFO=∠AOB90°

∴∠AOE=∠BOF

∴△EOA≌△FOBASA),

OEOF

2)解:如图1中,∵OEOF,∠EOF90°

∴∠OEF=∠OFE45°

∵∠CAB45°

∴∠OEH=∠FAH

∵∠EHO=∠AHF

∴△OEH∽△FAH

FF0C

EFOE

3)解:如图2中,

∵△MOF∽△EAF

∴∠OFM=∠EAF

由(1)可知AOE≌△BOF

OEOF

∵∠EOF90°

∴∠EFO45°

∴∠BFO=∠BFE22.5°

∵∠ABO=∠BFO+BOF45°

∴∠BOF=∠BOF22.5°

OBBF

OAOB

OAOBBF,设OAOBBFx,则ABx

AFAB+BFx+x1

x1

ABAFBF1﹣(1)=2

∴正方形的边长为2

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