Question

12．已知关于x的方程（m-1）x²-2mx+m=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求m的取值范围；
（2）若（x₁-x₂）²=3，求m的值．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的根的判别式△＞0时，方程有两个不相等的实数根，建立关于m的不等式，然后求出m的取值范围；
（2）把根与系数的关系式代入（x₁-x₂）²=8即（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=3，代入即可得到一个关于m的方程，求得m的值．

解答 解：（1）∵a=m-1，b=-2m，c=m，
而方程有两个不相等的实数根，
∴△=b²-4ac=4m²-4（m-1）m=4m＞0，
∴m＞0（m≠1）；
（2）∵x₁+x₂=$\frac{2m}{m-1}$，x₁x₂=$\frac{m}{m-1}$，
∴（x₁-x₂）²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=（$\frac{2m}{m-1}$）²-4×$\frac{m}{m-1}$=3，
解得：m₁=3，m₂=$\frac{1}{3}$．
经检验3和$\frac{1}{3}$都是方程的解．

点评 此题考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0?方程有两个不相等的实数根；（2）△=0?方程有两个相等的实数根（3）△＜0?方程没有实数根．以及一元二次方程根与系数的关系为：x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁•x₂=$\frac{c}{a}$．