【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,过点A作AE//BC与过点D作CD的垂线交于点E.
(1)如图1,若CE交AD于点F,BC=6,∠B=30°,求AE的长
(2)如图2,求证AE+CE=BC
【答案】(1)2;(2)见详解.
【解析】
(1)由点D是AB中点,∠B=30°得到△ACD是等边三角形,由30°角所对直角边等于斜边的一半,得到AC=,由BC=6,即可得到AC=
,同理可计算得到
;
(2)延长ED,交BC于点G,可证△ADE≌△BDG,得到AE=BG,然后证明△CDE≌△CDG,得到CE=CG,然后即可得到AE+CE=BC.
解:(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴AD=BD=CD,
∵∠B=30°,
∴∠BCD=∠B=30°,∠BAC=60°
∴△ACD是等边三角形.
∴AC=AD=
∵AE//BC,CD⊥DE,
∴∠CAE=∠ACB=90°,∠CDE=90°,
∴△ACE≌△DCE,
∴∠ACE=∠DCE=30°,
∴CE=2AE.
在Rt△ABC中,,BC=6,
∴,
∴,
同理,在Rt△ACE中,
解得:,
∴AE的长度为:2.
(2)如图,延长ED,交BC于点G,则
∵点D是AB的中点,
∴AD=BD,
∵AE∥BC,
∴∠EAD=∠GBD,
∵∠ADE=∠BDG,
∴△ADE≌△BDG(ASA),
∴AE=BG.DE=DG
∵CD⊥ED,
∴∠CDE=∠CDG=90°,
又CD=CD,
∴△CDE≌△CDG(SAS),
∴CE=CG,
∵BC=BG+CG,
∴BC=AE+EC.
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【题目】如图1,方格图中每个小正方形的边长为1,点A、B、C都是格点.
(1)画出△ABC关于直线MN对称的△A1B1C1;
(2)直接写出AA1的长度;
(3)如图2,A、C是直线MN同侧固定的点,D是直线MN上的一个动点,在直线MN上画出点D,使AD+DC最小.(保留作图痕迹)
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【题目】操作与探究:已知:点O为直线AB上一点,∠COD=90°,射线OE平分∠AOD.
(1)如图①所示,若∠COE=20°,则∠BOD= °.
(2)若将∠COD绕点O旋转至图②的位置,试判断∠BOD和∠COE的数量关系,并说明理由;
(3)若将∠COD绕点O旋转至图③的位置,继续探究∠BOD和∠COE的数量关系,请直接写出∠BOD和∠COE之间的数量关系: .
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【题目】如图,若干个完全相同的小正方体堆成一个几何体.
(1)从正面、左面、上面观察该几何体,分别在所给的网格图中画出你所看到的形状图;
(2)若现在你手头还有一些相同的小正方体,如果保持从左面、上面观察该几何体得到的形状图不变,那么在这个几何体上最多可以再添加多少个小正方体?
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【题目】在一条不完整的数轴上从左到右有点A,B,C,其中点A到点B的距离为2,点C到点B的距离为8,如图所示:设点A,B,C所对应的数的和是m.
(1)若以B为原点,则点C所对应的数是 ;若以C为原点,则m的值是 .
(2)若原点O在图中数轴上,且点C到原点O的距离为4,求m的值.
(3)动点P从A点出发,以每秒3个单位长度的速度向终点C移动,动点Q同时从B点出发,以每秒2个单位的速度向终点C移动,运动时间为t秒,求P、Q两点间的距离?(用含t的代数式表示)
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【题目】如图,直线AB、BC、CD分别与⊙O相切于E、F、G,且AB∥CD,OB=6cm,OC=8cm.求:
(1)∠BOC的度数;
(2)BE+CG的长;
(3)⊙O的半径.
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【题目】寒假就要到了,未来充实寒假生活,张鑫与李亮打算一起到新华书店买书,
下面是张鑫与李亮的对话内容:
根据他们俩的对话内容,列方程解答下列问题:
(1)如果张鑫上次买书没有办卡,他需要付多少钱?
(2)在这个书店买书,什么情况下,办卡比补办卡便宜?
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【题目】小明打算用一张半圆形的纸(如图)做一个圆锥.在制作过程中,他先将半圆剪成面积比为1∶2的两个扇形.
(1)请你在图中画出他的裁剪痕迹(要求尺规作图,不写作法,保留作图痕迹);
(2)若半圆半径是3,小明用裁出的大扇形作为圆锥的侧面,请你求出小明所做的圆锥的高.
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【题目】如图,反比例函数与一次函数
在第三象限交于点
.点
的坐标为(一3,0),点
是
轴左侧的一点.若以
为顶点的四边形为平行四边形.则点
的坐标为_____________.
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