Question

把两个全等的等腰直角三角形ABC和EFG（其直角边长均为4）叠放在一起（如图①），且使三角板EFG的直角顶点G与三角板ABC的斜边中点O重合．现将三角板EFG绕O点逆时针旋转（旋转角α满足条件：0°＜α＜90°），四边形CHGK是旋转过程中两三角板的重叠部分（如图②）．

（1）在上述旋转过程中，BH与CK有怎样的数量关系？四边形CHGK的面积有何变化？证明你发现的结论；（要有辅助线哟！）

（2）连接HK，在上述旋转过程中，设BH=x，△GKH的面积为y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

（3）在（2）的前提下，是否存在某一位置，使△GKH的面积恰好等于△ABC面积的，若存在，求出此时x值；若不存在，说明理由.

Answer 1

（1）BH=CK，四边形CHGK的面积不变；

（2）x²-2x+4, 0＜x＜4；

（3）当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的

【解析】（1）在上述旋转过程中，BH=CK，四边形CHGK的面积不变

连接CG，

∵△ABC为等腰直角三角形，O（G）为其斜边中点，∴CG=BG，CG⊥AB，∴∠ACG=∠B=45°，∵∠BGH与∠CGK均为旋转角，∴∠BGH=∠CGK，在△BGH与△CGK中，∠B=∠KCG,BG=CG, ∠BCG=∠CGK∴△BGH≌△CGK（ASA），∴BH=CK，S_△BGH=S_△CGK．∴S_{四边形CHGK}=S_△CHG+S_△CGK=S_△CHG+S_△BGH=S_△ABC=××4×4=4即：S_{四边形CHGK}的面积为4，是一个定值，在旋转过程中没有变化；

（2）∵AC=BC=4，Bk=x，∴CH=4-x，CK=x，连接HK．

由S_△GHK=S_{四边形CHGK}-S_△CHK，得y=4-x（4-x）=x²-2x+4   由0°＜α＜90°，

得到BH最大=BC=4，∴0＜x＜4；

（3）存在．根据题意，得x²-2x+4=×8     

解这个方程，得x₁=1，x₂=3，

即：当x=1或x=3时，△GHK的面积均等于△ABC的面积的.