Question

探究：如图①，在矩形ABCD中，点E为CD的中点，连结AE并延长交BC的延长线于点F，过点E作EM⊥AF交BC于点M，连结AM．求证：∠DAE=∠MAE．
应用：如图②，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E为CD的中点，连结AE，过点E作EM⊥AE交BC于点M，连结AM．若∠EMC=75°，求∠DAE的度数．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,矩形的性质,梯形

专题：

分析：探究：根据线段中点的定义可得DE=CE，根据两直线平行，内错角相等可得∠D=∠ECF，再利用“角边角”证明△ADE和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=EF，全等三角形对应角相等可得∠DAE=∠F，再求出EM垂直平分AF，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得到AM=MF，根等边对等角可得∠MAE=∠F，然后等量代换即可得证；
应用：由探究可知∠EMC=∠AME，再根据直角三角形两锐角互余求出∠MAE，然后根据∠DAE=∠MAE解答即可．

解答：解：探究：∵点E为CD的中点，
∴DE=CE，
∵矩形对边AD∥BC，
∴∠D=∠ECF，
在△ADE和△FCE中，

∠D=∠ECF DE=CE ∠AED=∠FEC

，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴AE=EF，∠DAE=∠F，
∵EM⊥AF，
∴EM垂直平分AF，
∴AM=MF，
∴∠MAE=∠F，
∴∠DAE=∠MAE；

应用：在前面的证明中可知，∠AME=∠EMC，
在Rt△AEM中，∠MAE=90°-∠AME=90°-75°=15°，
又∵∠DAE=∠MAE，
∴∠DAE=15°．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，矩形的性质，梯形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键．