【题目】已知,在等腰△ABC中,AB=AC,F为AB边上的中点,延长CB至D,使得BD=BC,连接AD交CF的延长线于E.
(1)如图1,若∠BAC=60°,求证:△CED为等腰三角形
(2)如图2,若∠BAC≠60°,(1)中结论还成立吗?若成立,请证明,若不成立,请说明理由.
(3)如图3,当 = 是(直接填空),△CED为等腰直角三角形.
【答案】(1)证明见解析;(2)成立.理由见解析;(3).
【解析】试题分析:(1)如图1,先证明△ABC为等边三角形得到∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC,再证明∠D=∠DCE=30°,然后根据等腰三角形的判定定理得到△CED为等腰三角形;
(2)延长CF到M使FM=CF,连接AM,如图2,先证明△AMF≌△BCF得到AM=BC,∠M=∠BCF,再证明△AMC≌△BDA得到∠M=∠D,所以∠D=∠DCE,于是可判断△CED为等腰三角形;
(3)作BH⊥CE于H,连接BE,如图3,由(2)得△CED为等腰三角形,当∠BCE=45°时,△CED为等腰直角三角形,则EB⊥CD,设BH=x,则CH=EH=x,BC=x,易证得△AEF≌△BHF,则EF=HF=
HE=
x,再利用勾股定理计算出BF=
x,所以AB=2BF=
x,然后计算出
的值.
试题解析:(1)如图1,
∵AB=AC,∠BAC=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠ACB=∠ABC=60°,AB=BC,
而BC=BD,∴AB=BD,∴∠D=∠BAD,
而∠ABC=∠D+∠BAD,∴∠D=30°,
∵F点AB的中点,∴CF平分∠ACB,∴∠ACE=∠DCE=30°,∴∠D=∠DCE,
∴△CED为等腰三角形;
(2)成立.
延长CF到M使FM=CF,连接AM,如图2,
在△AMF和△BCF中 ,∴△AMF≌△BCF,∴AM=BC,∠M=∠BCF,
∵BC=BD,∴AM=BD,
∵∠M=∠BCF,∴AM∥CD,∴∠MAC+∠ACB=180°,
而∠DBA+∠ABC=180°,∠ABC=∠ACB,∴∠MAC=∠DBA,
在△AMC和△BDA中 ,∴△AMC≌△BDA,∴∠M=∠D,∴∠D=∠DCE,
∴△CED为等腰三角形;
(3)作BH⊥CE于H,连接BE,如图3,
由(2)得△CED为等腰三角形,当∠BCE=45°时,△CED为等腰直角三角形,
∴EB⊥CD,
设BH=x,则CH=EH=x,BC=x,易证得△AEF≌△BHF,则EF=HF=
HE=
x,
在△BFH中,BF= =
x,∴AB=2BF=
x,∴
=
=
.
故答案为.
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【题目】从边长为a的大正方形纸板中挖去一个边长为b的小正方形纸板后,将其裁成四个相同的等腰梯形(如图甲),然后拼成一个平行四边形(如图乙).那么通过计算两个图形阴影部分的面积,可以验证成立的公式为( )
A.a2﹣b2=(a﹣b)2
B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
D.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)
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【题目】某中学开展“绿化家乡、植树造林”活动,为了解全校植树情况,对该校甲、乙、丙、丁四个班级植树情况进行了调查,将收集的数据整理并绘制成图1和图2两幅尚不完整的统计图,请根据图中的信息,完成下列问题:
(1)这四个班共植树 棵;
(2)补全两幅统计图;
(3)求图1中“甲”班级所对应的扇形圆心角的度数;
(4)若四个班级所种植的树成活了190棵,全校共植树2000棵,请你估计全校种植的树中成活的树有多少棵.
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【题目】水星和太阳的平均距离约为5.79×107km,冥王星和太阳的平均距离约是水星和太阳的平均距离的102倍,那么,冥王星和太阳的平均距离约为多少千米?
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【题目】如图1(注:与图2完全相同),二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求该二次函数的解析式;
(2)设该抛物线的顶点为D,求△ACD的面积;
(3)若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ所在的直线翻折,点A恰好落在抛物线上E点处,请直接判定此时四边形APEQ的形状,并求出E点坐标.
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