分析 （1）分两种情况：当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC；当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC，计算可得；
（2）在前两种情况中，分别计算出∠COD、∠COE的度数，内部时∠COD+∠COE、外部时∠COD-∠COE可得；
（3）计算方法同（2）一致．
解答 解：（1）有两种情况：分∠AOC在∠AOB的内部和外部．
①当∠AOC在∠AOB内部时，∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②当∠AOC在∠AOB外部时，∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；
（2）如图：
①当∠AOC在∠AOB内部时，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知∠BOC=30°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=15°，
∴∠DOE=∠COE+∠COD=45°；
②当∠AOC在∠AOB外部时，∵∠AOC=30°，OE平分∠AOC，
∴∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=30°，
由（1）知，∠BOC=150°，OD平分∠BOC，
∴∠COD=$\frac{1}{2}$∠BOC=75°，
∠DOE=∠COD-∠COE=45°；
综上，∠DOE度数为45°．
（3）能，
①当OC在∠AOB内部时，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°-2α．
∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°-α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=45°；
②当OC在∠AOB外部时，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α，
∴∠BOC=90°+2α．
∵OD，OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=$\frac{1}{2}$∠BOC=45°+α，∠COE=$\frac{1}{2}$∠AOC=α，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=45°．
综上，∠DOE的度数为45°．
故答案为：（1）30°或150°，（2）45°．
点评 本题主要考查利用角平分线进行角的计算，这里分OC在角的内部和外部两种情况计算是前提，属中档题．
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