Question

【题目】如图在矩形ABCD中，AB= AD,点E、F分别在AB、AD上且不与顶点A、B、D重合， , 圆O过A、E、F三点。

（1）求证：圆O与CE相切于点E.

（2）如图1，若AF=2FD，且，求的值。

（3）如图2，若EF=EC，且圆O与边CD相切，求的值。

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）

【解析】（1）由四边形ABCD是矩形证明∠FEC=90°即可；（2）在直角三角形中利用三角函数求解；（3）利用三角形中位线、勾股定理和题意可列方程求出n的值．

(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，

∠BCE+∠BEC=90°，

又∵∠AEF=∠BCE，∵∠AEF+∠BEC=90°，

∴∠FEC=90°，∴⊙O与CE相切．

（2）∵AF=2FD,设FD=a。则AF=2a，

在直角三角形AEC中，∵∠AEF=30°，

∴∠BCE=30°．

∴EF=4a，由勾股定理：AE= ，

．

∴BC=3a，又在直角三角形EBC中，

，

.

过E作EMDC于M,因为圆O与CD相切，设切点为N，连接ON,又过F作FQEM交ON于H， FE=EC, EFEC, ，

根据题意和作图，可设AE=BC=ME=AD= ，AF=QE=EB= ，

易证明OH为的中位线，OH=，

2ON=EF=，

由勾股定理和题意可列方程：

，

化简：

．

“点睛”本题考查了直线与圆的位置关系，将方程与几何融合在一起，利用勾股定理和方程组解答；解答本题需要我们熟练各部分的内容，对学生的综合能力要求较高，一定要注意将所学知识贯穿起来．