Question

【题目】对几何命题进行逆向思考是几何研究中的重要策略，我们知道，等腰三角形两腰上的高 线相等，那么等腰三角形两腰上的中线，两底角的角平分线也分别相等吗？它们的逆命 题会正确吗？

（1）请判断下列命题的真假，并在相应命题后面的括号内填上“真”或“假”．

①等腰三角形两腰上的中线相等　 ;

②等腰三角形两底角的角平分线相等　 ;

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形　 ;

（2）请写出“等腰三角形两腰上的中线相等”的逆命题，如果逆命题为真，请画出图形，写出已知、求证并进行证明，如果不是，请举出反例．

Answer 1

【答案】（1）①真；②真；③真；（2）逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；见解析.

【解析】

(1)根据命题的真假判断即可；

(2)根据全等三角形的判定和性质进行证明即可．

(1)①等腰三角形两腰上的中线相等是真命题；

②等腰三角形两底角的角平分线相等是真命题；

③有两条角平分线相等的三角形是等腰三角形是真命题；

故答案为：真；真；真；

(2)逆命题是：有两边上的中线相等的三角形是等腰三角形；

已知：如图，△ABC中，BD，CE分别是AC，BC边上的中线，且BD＝CE，

求证：△ABC是等腰三角形；

证明：连接DE，过点D作DF∥EC，交BC的延长线于点F，

∵BD，CE分别是AC，BC边上的中线，

∴DE是△ABC的中位线，

∴DE∥BC，

∵DF∥EC，

∴四边形DECF是平行四边形，

∴EC＝DF，

∵BD＝CE，

∴DF＝BD，

∴∠DBF＝∠DFB，

∵DF∥EC，

∴∠F＝∠ECB，

∴∠ECB＝∠DBC，

在△DBC与△ECB中

，

∴△DBC≌△ECB，

∴EB＝DC，

∴AB＝AC，

∴△ABC是等腰三角形．