【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象如图,下列结论:
①abc>0;②3a+c<0;③a+b≥am2+bm;④a﹣b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.
其中正确的有( )个.
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】B
【解析】
由抛物线开口方向得到a<0,利用抛物线的对称轴方程得到b=-2a>0,由抛物线与x轴的交点位置得到c>0,则可对①进行判断;利用抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)与(0,0)之间,所以当x=-1时,a-b+c<0,则可对④进行判断;把b=-2a代入可对②进行判断;利用二次函数的最值问题对③进行判断;把ax12+bx1=ax22+bx2进行变形得到(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,从而得到a(x1+x2)+b=0,再利用b=-2a可对⑤进行判断.
∵抛物线开口向下,
∴a<0,
∵抛物线的对称轴为直线x=-=1,
∴b=-2a>0,
∵抛物线与x轴的交点在x轴上方,
∴c>0,
∴abc<0,所以①错误;
∵抛物线与x轴的一个交点在(2,0)与(3,0)之间,
∴抛物线与x轴的另一个交点在(-1,0)与(0,0)之间,
∴当x=-1时,y<0,
即a-b+c<0,所以④错误;
∴a+2a+c<0,即3a+c<0,所以②正确;
∵x=1时,y有最大值,
∴a+b+c≥am2+bm+c,
即a+b≥am2+bm,所以③正确;
∵ax12+bx1=ax22+bx2,
∴a(x1+x2)(x1-x2)+b(x1-x2)=0,
∴(x1-x2)[a(x1+x2)+b]=0,
而x1≠x2,
∴a(x1+x2)+b=0,
∴x1+x2=-=-=2,所以⑤正确.
故选B.
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【题目】如果抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,-2),B(-1,1)两点,那么此抛物线经过
A. 第一、二、三、四象限 B. 第一、二、三象限
C. 第一、二、四象限 D. 第二、三、四象限
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【题目】如图,长方体的长为15宽为10,高为20,点B离点C的距离为5,一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B,需要爬行的最短距离是( )
A. 20 B. 25 C. 30 D. 32
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【题目】建立适当的坐标系,运用函数知识解决下面的问题:
如图,是某条河上的一座抛物线形拱桥,拱桥顶部点E到桥下水面的距离EF为3米时,水面宽AB为6米,一场大雨过后,河水上涨,水面宽度变为CD,且CD=2米,此时水位上升了多少米?
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【题目】(1)抛物线经过点A (4,0),点B (1,-3) ,求该抛物线的解析式;
(2)如图,要修建一个圆形喷水池,在池中心竖直安装一根水管,在水管的顶端安一个喷水头,使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高,高度为3m,水柱落地处离池中心3m,水管应多长?
(3)如图,点P(>0),在轴正半轴上,过点P作平行于轴的直线,分别交抛物线于点A,B,交抛物线于点C,D,求的值.
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【题目】如图,有长为24m的篱笆,一面利用墙(墙的最大可用长度a为10m),围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.设花圃的宽AB为xm,面积为Sm2.
(1)求S与x的函数关系式;
(2)如果要围成面积为45m2的花圃,AB的长是多少米?
(3)能围成面积比45 m2更大的花圃吗?如果能,请求出最大面积,并说明围法;如果不能,请说明理由.
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【题目】如图,线段AB是直线y=4x+2的一部分,点A是直线与y轴的交点,点B的纵坐标为6,曲线BC是双曲线y=的一部分,点C的横坐标为6,由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程,形成一组波浪线.点P(2017,m)与Q(2020,n)均在该波浪线上,分别过P、Q两点向x轴作垂线段,垂足为点D和E,则四边形PDEQ的面积是( )
A. 10 B. C. D. 15
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,△ABC的顶点 在 轴负半轴上,顶点在轴正半轴上,顶点 在第一象限,线段 , 的长是一元二次方程 的两根,,.
(1)直接写出点的坐标 点 C 的坐标 ;
(2)若反比例函数的图象经过点,求 的值;
(3)如图过点作 轴于点 ;在轴上是否存在点 ,使以,, 为顶点的三角形与以,,为顶点的三角形相似?若存在,直接写出满足条件的点的坐标;若不存在,请说明理由.
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