Question

如图，等腰直角△BCD，∠BDC=90°，E为CD的中点，DF⊥BE于F，连CF交BD于H．
（1）求证：DE²=EF•EB；
（2）求

DH

BH

；
（3）过B点作BG⊥BC交CH的延长线于G点，求证：BC=2BG．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质

专题：

分析：（1）利用条件可证明△DEF∽△BED，再利用相似三角形的性质可证得结论；
（2）可证明△BFD∽△DFE，可得到BF和EF的关系，过E作EM∥BD交CH于M，可找到DH和EM的关系，BH和EM的关系，从而可求得

DH

BH

；
（3）过D作DN⊥BC，交CH于L，交BC于点N，可证得DL=LN=

1

2

BG，可得BG=DN，可证得BC=2BG．

解答：（1）证明：
∵DF⊥BE，
∴∠DFE=∠BDE=90°，且∠DEF=∠BED，
∴△DEF∽△BED，
∴

DE

BE

=

EF

DE

，
∴DE²=EF•EB；
（2）解：
∵DF⊥BE，
∴∠DFB=∠DFE=90°，
∴∠DBF+∠BDF=∠BDF+∠FDE=90°，
∴∠DBF=∠FDE，
∴△BFD∽△DFE，
∴

BF

DF

=

DF

EF

=

BD

DE

，
∵BD=CD，E为CD中点，
∴

BD

DE

=2，
∴BF=2DF=4EF，
如图1，过点E作EM∥BD，交CH于点M，

∵E为CD中点，
∴M为CH中点，
∴DH=2FM，
∵FM∥BD，
∴

BH

FM

=

BF

EF

=4，
∴BH=4FM，
∴

DH

BH

=

2FM

4FM

=

1

2

；
（3）证明：
如图2，过D作DN⊥BC，交CG于点L，交BC于点N，

∵GB⊥BC，
∴DN∥BG，
∵△BCD为等腰直角三角形，
∴BN=CN=DN，
∴L为CG中点，
∴GB=2LN，
∵GB∥DL，
∴

GB

DL

=

BH

DH

=2，
∴GB=2DL，
∴GB=DN=

1

2

BC，
∴BC=2GB．

点评：本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的对应边成比例是解题的关键，注意利用中点构造三角形中位线是解题的常用辅助线．