Question

如图，已知△ABB′与△IB′E是等边三角形，连接AE、BI，C、D分别为BI、AE的中点，求证：△CDB′是等边三角形．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证△AB'E≌△BB'I，可得∠B'EA=∠B'IB，AE=BI，根据C、D分别为BI、AE的中点，可得DE=CI，即可证明△B'IC≌△B'ED，可得B'C=B'D，∠IB'C=∠EB'D，即可求证∠CB'D=∠EB'I=60°，即可解题．

解答：证明：∵△ABB′与△IB′E是等边三角形，
∴∠AB'B=∠IB'E=∠AB'I=60°，AB'=BB'，IB'=B'E，
在△AB'E和△BB'I中，

AB′=BB′ ∠AB′E=∠BB′I=120° B′E=B′I

，
∴△AB'E≌△BB'I，（SAS）
∴∠B'EA=∠B'IB，AE=BI，
∵C、D分别为BI、AE的中点，
∴DE=CI，
在△B'IC和△B'ED中，

B′I=B′E ∠B′EA=∠B′IC CI=DE

，
∴△B'IC≌△B'ED（SAS），
∴B'C=B'D，∠IB'C=∠EB'D，
∵∠IB'C=∠IB'D+∠CB'D，∠EB'D=∠EB'I+∠IB'D，
∴∠CB'D=∠EB'I=60°，
∴△B'CD是等边三角形．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AB'E≌△BB'I和△B'IC≌△B'ED是解题的关键．