Question

7．如图，直线l₁的解析式为y=-2x+2，且l₁与x轴交于点D，直线l₂经过点A（4，0），B（0，-1），两直线交于点C．
（1）点D的坐标为（1，0）；
（2）求直线l₂的表达式；
（3）求△ADC的面积；
（4）若有过点C的直线CE把△ADC的面积分为2：1两部分，请直接写出直线CE的表达式．

Answer 1

分析 （1）利用直线l₁的解析式令y=0，求出x的值即可得到点D的坐标；
（2）根据点B、A的坐标，利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）先求出点C的坐标，再求出AD的长，然后利用三角形的面积公式列式进行计算即可得解；
（4）当过点C的直线CE把△ADC的面积分为2：1两部分时，分DE：EA=2：1，或DE：EA=1：2两种情况解答即可．

解答 解：（1）把y=0代入y=-2x+2，可得：-2x+2=0，
解得：x=1，
所以点D的坐标为（1，0），
故答案为：（1，0）；
（2）设l₂的表达式为：y=kx+b
根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{-1=b}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{4}}\\{b=-1}\end{array}\right.$
所以l₂的表达式为：y=$\frac{1}{4}$x-1；
（3）解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-2x+2}\\{y=\frac{1}{4}x-1}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{4}{3}}\\{y=-\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
所以点C的坐标为（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$），
过点C做CE⊥AD于点E，如图：

${S}_{△ADC}=\frac{1}{2}AD•CE=\frac{1}{2}×3×\frac{2}{3}=1$，
所以△ADC的面积为1；
（4）当过点C的直线CE把△ADC的面积分为2：1两部分时，可得：DE：EA=2：1，或DE：EA=1：2，
可得点E的坐标为（3，0）或（2，0）
把（3，0）和（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）代入解析式可得直线CE的表达式为  y=$\frac{2}{5}x-\frac{6}{5}$ 
把（2，0）和（$\frac{4}{3}$，-$\frac{2}{3}$）代入解析式可得直线CE的表达式为y=x-2．

点评 本题考查了两直线相交的问题，直线与坐标轴的交点的求解，待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数图象与二元一次方程组的关系，都是基础知识，一定要熟练掌握并灵活运用．