Question

【题目】在△ABC中，AB＝AC，点P为△ABC所在平面内一点过点P分别作PE∥AC交AB于点E，PF∥AB交BC于点D，交AC于点F．

（1）观察猜想

如图1，当点P在BC边上时，此时点P、D重合，试猜想PD，PE，PF与AB的数量关系：　 　．

（2）类比探究

如图2，当点P在△ABC内时，过点P作MN∥BC交AB于点M，交AC于点N，试写出PD，PE，PF与AB的数量关系，并加以证明．

（3）解决问题

如图3，当点P在△ABC外时，若AB＝6，PD＝1，请直接写出平行四边形PEAF的周长　 　．

Answer 1

【答案】（1）PD+PE+PF＝AB；（2）PD+PE+PF＝AB，见解析；（3）14

【解析】

（1）由PE∥AC，PF∥AB可判断四边形AEPF为平行四边形，根据平行线的性质得∠1＝∠C，根据平行四边形的性质得PF＝AE，再根据等腰三角形的性质得∠B＝∠C，则∠B＝∠1，则可根据等腰三角形的判定得PE＝BE，所以PE+PF＝AB；

（2）因为四边形PEAF为平行四边形，所以PE＝AF，又三角形FDC为等腰三角形，所以FD＝PF+PD＝FC，即PE+PD+PF＝AC＝AB；

（3）过点P作MN∥BC分别交AB、AC于M、N两点，推出PE+PF＝AM，再推出MB＝PD即可得到结论．

解：（1）答：PD+PE+PF＝AB．

证明如下：∵点P在BC上，

∴PD＝0，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形PFAE是平行四边形，

∴PF＝AE，

∵PE∥AC，

∴∠BPE＝∠C，

∴∠B＝∠BPE，

∴PE＝BE，

∴PE+PF＝BE+AE＝AB，

∵PD＝0，

∴PD+PE+PF＝AB，

故答案为：PD+PE+PF＝AB；

（2）如图2，结论成立：PD+PE+PF＝AB．

证明：过点P作MN∥BC分别交AB，AC于M，N两点，

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形AEPF是平行四边形，

∵MN∥BC，PF∥AB，

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴AE＝PF，∠EPM＝∠ANM＝∠C，

∵AB＝AC，

∴∠EMP＝∠B，

∴∠EMP＝∠EPM，

∴PE＝EM，

∴PE+PF＝AE+EM＝AM．

∵四边形BDPM是平行四边形，

∴MB＝PD．

∴PD+PE+PF＝MB+AM＝AB，

即PD+PE+PF＝AB；

（3）如图3，过点P作MN∥BC分别交AB、AC延长线于M、N两点．

∵PE∥AC，PF∥AB，

∴四边形PEAF是平行四边形，

∴PF＝AE，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

∵MN∥BC，

∴∠ANM＝∠C＝∠B＝∠AMN，

∵PE∥AC，

∴∠EPM＝∠FNP，

∴∠AMN＝∠FPN，

∴∠EPM＝∠EMP，

∴PE＝ME，

∵AE+ME＝AM，

∴PE+PF＝AM，

∵MN∥CB，DF∥AB，

∴四边形BDPM是平行四边形，

∴MB＝PD，

∴PE+PF﹣PD＝AM﹣MB＝AB，

∴PE+PF＝AB+PD＝6+1＝7，

∴平行四边形PEAF的周长＝14，

故答案为：14．