Question

【题目】（1）在直角坐标平面内，已知⊙O的半径为R，点A为⊙O上任意一点，定点B与圆心O的距离为m，线段AB的长度为l．则当m≥R时，l的最大值和最小值依次为　 　，　 　；当m＜R时，l的最大值和最小值依次为　 　，　 　．

（2）如图，⊙O的半径为2，点P的“K值”定义如下：若点Q为⊙O上任意一点，线段PQ长度的最大值与最小值之差即为点P的“K值”，记为KP，特别地，当点P，Q重合时，线段PQ的长度为0．

①若点A（6，8），B（﹣1，0），则KA＝　 　，KB＝　 　．

②若直线y＝2x﹣1上存在点P，使，求出点P的横坐标；

③直线（b＞0）与x轴，y轴分别交于A，B，若线段AB上存在点P，使得，请你直接写出b的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）m+R；m﹣R；R+m；R﹣m；（2）①4；2；②1或﹣；③1≤b≤2．

【解析】

（1）当A、B、O在一条直线上时，AB有最大和最小值，据此分别求解即可；

（2）①先分别求出AO＝10，BO＝1，则KA＝（10+2）﹣（10﹣2）＝4，KB＝（2+1）﹣（2﹣1）＝2；②当点P在圆O外时，KP＝2R＝4，不符合题意；当点P在圆O内时，KP＝2OP＝2，设P（m，2m﹣1），则有m2+（2m﹣1）2＝2，即可求m；③点P在以O为圆心，半径分别为，围成的圆环内（含边界），即线段AB与图中阴影部分有公共点，当（b＞0）与以O为圆心，为半径的圆相切时，＝，求得b＝1，当（b＞0）与以O为圆心，为半径的圆相切时，＝，求得b＝2．从而可得出b的取值范围．

解：（1）当m≥R时，点B在圆外，

如图2，当A，B，O三点共线时，AB取得最大，最小值，

当A，B位于圆心O两侧时AB取得最大值，最大值AB=BO+AO =m+R；

当A，B位于圆心O同侧时AB取得最小值，最小值AB=BO-AO=m﹣R，

当m＜R时，点B在圆内，如图2，

同理可得，AB的最大值为R+m，最小为R﹣m，

故答案为：R+m；m﹣R；R+m；R﹣m；

（2）①∵点A（6，8），B（﹣1，0），

∴AO＝10，BO＝1，

∴KA＝（10+2）﹣（10﹣2）＝4，

KB＝（2+1）﹣（2﹣1）＝2，

故答案为4；2；

②当点P在圆O外时，KP＝2R＝4，不符合题意；

当点P在圆O内时，KP＝2OP＝2，

∴OP＝，

∵P在直线y＝2x﹣1上，

设P（m，2m﹣1），

∴m2+（2m﹣1）2＝2，

∴m＝1或m＝﹣，

即点P的横坐标为1或﹣；

③∵＜4，

∴点P在圆O的内部，

∴点P在以O为圆心，半径分别为，围成的圆环内（含边界），即线段AB与图中阴影部分有公共点，如图3，

当（b＞0）与以O为圆心，为半径的圆相切时，＝，∴b＝1，

当（b＞0）与以O为圆心，为半径的圆相切时，＝，∴b＝2，

∴b的取值范围为：1≤b≤2．