Question

10．（1）如图1，在平面直角坐标系中，RT△PBD的斜边PB落在y轴上，tan∠BPD=$\frac{1}{2}$．延长BD交x轴于点C，过点D作
DA⊥x轴于A，OA=4，OB=3．
①求点C的坐标；
②若点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象上，求反比例函数的解析式．
（2）如图2，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，O是AC的中点，AE=CF，DF∥BE．
①求证：△BOE≌△DOF；
②若OD=$\frac{1}{2}$AC，判断四边形ABCD是什么特殊四边形？并证明结论．

Answer 1

分析 （1）①根据正切值，可得PD的斜率，根据直线垂直，可得BD的斜率，可得直线BC，根据函数值为0，可得C点坐标；
②根据自变量的值，可得D点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；
（2）①由DF与BE平行，得到两对内错角相等，再由O为AC的中点，得到OA=OC，又AE=CF，得到OE=OF，利用AAS即可得证；
②若OD=$\frac{1}{2}$AC，则四边形ABCD为矩形，理由为：由OD=$\frac{1}{2}$AC，得到OB=$\frac{1}{2}$AC，即OD=OA=OC=OB，利用对角线互相平分且相等的四边形为矩形即可得证

解答 解：Rt△PBD的斜边PB落在y轴上，
∴BD⊥PD，
k_PD=cot∠BPD=$\frac{1}{tan∠BPD}$，
k_BD•k_PD=-1，
k_BD=-$\frac{1}{2}$，
直线BD的解析式是y=-$\frac{1}{2}$x+3，
当y=0时，-$\frac{1}{2}$x+3=0，
x=6，
C点坐标是（6，0）；

②当x=4时，y=-$\frac{1}{2}$×4+3=1，
∴D（4，1）．
点D在反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k＞0）的图象上，
∴k=4×1=4，
∴反比例函数的解析式为 y=$\frac{4}{x}$．

（2）①证明：∵DF∥BE，
∴∠FDO=∠EBO，∠DFO=∠BEO，
∵O为AC的中点，
∴OA=OC，
∵AE=CF，
∴OA-AE=OC-CF，
即OE=OF，
在△BOE和△DOF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠FDO=∠EBO}\\{∠DFO=∠BEO}\\{OE=OF}\end{array}\right.$，
∴△BOE≌△DOF（AAS）；

②若OD=$\frac{1}{2}$AC，则四边形ABCD是矩形，理由为：
证明：∵△BOE≌△DOF，
∴OB=OD，
∵OD=$\frac{1}{2}$AC，
∴OA=OB=OC=OD，且BD=AC，
∴四边形ABCD为矩形；

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，以及平行线的性质，先求出PD的斜率求出BD的斜率，求出直线BD，再求出点的坐标；熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．