Question

17．求函数y=|x-1|+|2x-1|+…+|8x-1|+|9x-1|的最小值及对应自变量x的取值．

Answer 1

分析 分段讨论t的范围从而去掉绝对值，①0≤x≤$\frac{1}{9}$，②$\frac{1}{9}$＜x≤$\frac{1}{8}$，③$\frac{1}{8}$＜x≤$\frac{1}{7}$，④$\frac{1}{7}$≤x＜$\frac{1}{6}$，⑤$\frac{1}{6}$≤x＜$\frac{1}{5}$，⑥$\frac{1}{5}$≤x＜$\frac{1}{4}$，⑦$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{1}{3}$，⑧$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$，⑨$\frac{1}{2}$≤x＜1，x≥1这样可得出每一段y的取值范围，综合起来可得出y取1时x的取值范围．

解答 解：①当0≤x＜$\frac{1}{9}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+1-8x+1-9x=9-45x，当x=$\frac{1}{9}$时，y_最小=4；
②当$\frac{1}{9}$＜x≤$\frac{1}{8}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+1-8x+9x-1=7-27x，当x=$\frac{1}{8}$时，y_最小=$\frac{29}{8}$；
③当$\frac{1}{8}$＜x≤$\frac{1}{7}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+1-7x+8x-1+9x-1=-11x+5，当x=$\frac{1}{7}$时，y_最小=$\frac{24}{7}$；
④当$\frac{1}{7}$≤x＜$\frac{1}{6}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+1-6x+7x-1+8x-1+9x-1=3x+3，当x=$\frac{1}{7}$时，y_最小=$\frac{24}{7}$；
⑤当$\frac{1}{6}$≤x＜$\frac{1}{5}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+1-5x+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=15x+1，当x=$\frac{1}{6}$时，y_最小=$\frac{7}{2}$；
⑥当$\frac{1}{5}$≤x＜$\frac{1}{4}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+1-4x+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=25x-1，当x=$\frac{1}{5}$时，y_最小=4；
⑦当$\frac{1}{4}$≤x＜$\frac{1}{3}$时，y=1-x+1-2x+1-3x+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=33x-6，当x=$\frac{1}{4}$时，y_最小=$\frac{11}{4}$；
⑧当$\frac{1}{3}$≤x＜$\frac{1}{2}$时，y=1-x+1-2x+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=39x-5，当x=$\frac{1}{3}$时，y_最小=8；
⑨当$\frac{1}{2}$≤x＜1时，y=1-x+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=43x-7，当x=$\frac{1}{2}$时，y_最小=$\frac{29}{2}$；
当x≥1时，y=x-1+2x-1+3x-1+4x-1+5x-1+6x-1+7x-1+8x-1+9x-1=45x-9，当x=1时，y_最小=36；
综上所述：当x=$\frac{1}{4}$时，y_最小=$\frac{11}{4}$．

点评 此题考查了函数的最值问题，在于分段讨论x的取值范围，从而去掉绝对值进行运算，难度较大．