分析 （1）连结OB，依据等腰三角形的性质可证明∠OBM=∠C=45°，OB=OC，依据同角的余角相等可证明∠MOB=∠NOC，依据ASA可证明△BOM≌Rt△CON，由全等三角形的性质可知BM=CN；
（2）首先根据题意画出图形，当点P在线段AO上时，如图2所示，当点P在线段CO上时，如图3所示，然后依据AAS证明△BPO≌△PDE（AAS），由求全等三角形的性质可知OP=DE．
解答 证明（1）：如图1所示：连结OB．
∵AB=BC，O为AC中点，
∴∠ABO=∠CBO，BO⊥AC．
∵∠ABC=90°，
∴∠ABO=∠CBO=45°，∠A=∠C=45°．
∴∠ABO=∠C=∠CBO．
∴0B=OC．
∵∠MON=90°，
∴∠MOB+∠BON=∠CON+∠BON=90°．
∴∠MOB=∠CON．
在△BOM和Rt△CON中$\left\{\begin{array}{l}{∠MBO=∠C}\\{OB=OC}\\{∠MOB=∠CON}\end{array}\right.$，
∴△BOM≌Rt△CON（ASA）．
∴BM=CN．
（2）OP=DE．
理由如下：①如图2，若点P在线段AO上．
∵BO⊥AC，
∴∠BOC=90°．
∵OB∥DE，
∴∠POB=∠PED=90°．
∴OP⊥DE．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD．
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠C=45°．
∵BO⊥AC，
∴∠OBC=45°．
∴∠OBC=∠C=45°．
∵∠PBO=∠PBC-∠OBC，∠DPC=∠PDB-∠C，
∴∠PBO=∠DPC．
∵BO⊥AC，DE⊥AC，
∴∠BOP=∠PED=90°．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠BOP=∠PED}\\{∠PBO=∠DPC}\\{PB=PD}\end{array}\right.$，
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．
②若点P在线段CO上．
∵OB∥DE，
∴∠OBC=∠BDE=45°．
∵PB=PD，
∴∠PDB=∠PBD，
∵∠APB=∠PBD+∠ACB=∠PBD+45°，∠PDE=∠PDC+∠BDE=∠PDC+45°，
∴∠APB=∠PDE．
在△BPO和△PDE中$\left\{\begin{array}{l}{∠APB=∠PDE}\\{∠BOP=∠DEP}\\{PB=PD}\end{array}\right.$
∴△BPO≌△PDE（AAS）．
∴OP=DE．
点评 本题主要考查的是全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质，根据题意画出图形并征得△BPO≌△PDE是解题的关键．
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