Question

△ABC中，∠C=90°，点D在边AB上，AD=AC=7，BD=

1

2

BC．动点M从点C出发，以每秒1个单位的速度沿CA向点A运动，同时，动点N从点D出发，以每秒2个单位的速度沿DA向点A运动．当一个点到达点A时，点M、N两点同时停止运动．设M、N运动的时间为t秒．
（1）求cosA的值．
（2）当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，求t的值．

Answer 1

考点：切线的性质,解直角三角形

专题：动点型

分析：（1）根据勾股定理求得BC的长度，即可得到cosA的值．
（2）分三种情况讨论：
当⊙O与AB相切时，则MN⊥AB，利用相似 AN：AM=AC：AB，得到比例式，即可求得答案；
当⊙O与AC相切时，则MN⊥AC，利用相似 AN：AM=AC：AB，得到比例式，即可求得答案；
当⊙O与BC相切时，作NE⊥BC，垂足为E，取EC的中点F，连结OF，易得△FCM∽△NEF．，利用比例求解即可

解答：解：（1）∵△ABC中，∠C=90°，AD=AC=7，BD=

1

2

BC．
∴（7+

1

2

BC）²=BC²+7²，解得：BC=

28

3

，
∴BD=

14

3

，
∴AB=7+

14

3

=

35

3

，
∴cosA=

AC

AB

=

7

35 3

=

3

5

；
（2）当⊙O与AB相切时，则MN⊥AB，
∵∠MNA=∠C=90°∠A=∠MAN，
∴△MNA∽△BCA，
∴

AM

AN

=

AB

AC

，
即

7-t

7-2t

=

5

3

，解得：t=2；
当⊙O与AC相切时，则MN⊥AC，
∵∠NMA=∠C=90°∠A=∠MAN，
∴△ANM∽△ABC，
∴

AM

AN

=

AC

AB

，
即

7-t

7-2t

=

3

5

，解得：t=-14（舍去），
当⊙O与BC相切时，如图，作NE⊥BC，垂足为E．取EC的中点F，连结OF，则OF⊥BC，即点F为⊙O与BC相切的切点．
连结MF，NF，则FM⊥FN，因此△FCM∽△NEF．
因此CM•EN=EF²=FC²，
CM=t，EN=(

4

3

+2t)•

3

5

，EF=FC=

1

2

EC=

2

5

(7-2t)，
因此t•(

4

3

+2t)•

3

5

=(

2

5

(7-2t))2，整理得t²+13t-14=0，解得：t=1，t=-14（舍去）．
综上所得，当以MN为直径的圆与△ABC一边相切时，t=1或t=2．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了勾股定理和垂径定理，注意分类讨论是解题的关键．