Question

【题目】正方形ABCD和正方形AEFG，AB＝12，AE＝6．设∠BAE＝α(0°≤α≤45°，点E在正方形ABCD内部)，BE的延长线交直线DG于点Q．

（1）求证：△ADG≌△ABE；

（2）试求出当α由0°变化到45°过程中，点Q运动的路线长，并画出点Q的运动路径；直接写出当α等于多少度时，点G恰好在点Q运动的路径上．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）图见解析；．

【解析】

（1）由正方形的性质得出AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°，易证∠DAG＝∠BAE，由SAS证得△ADG≌△ABE；

（2）由△ADG≌△ABE，得出∠ADG＝∠ABE，则∠BQD＝∠BAD＝90°，得出点Q的运动轨迹是以BD为直径的，所对的圆心角是90°，BD＝AB＝12，则点Q的运动路径长＝＝3π，由AE＝6，得出AE＝AG＝BD＝OD，当B、E、G三点共线，且OG＝OD时，Q与G重合，则△OAG是等边三角形，得出∠GAO＝60°，推出∠BAE＝∠DAG＝60°﹣45°＝15°，即可得出结果．

（1）证明：∵四边形ABCD与四边形AEFG是正方形，

∴AD＝AB，AG＝AE，∠EAG＝∠BAD＝90°，

∴∠DAG+∠DAE＝∠BAE+∠DAE＝90°，

∴∠DAG＝∠BAE，

在△ADG和△ABE中，，

∴△ADG≌△ABE(SAS)；

（2）解：∵△ADG≌△ABE，

∴∠ADG＝∠ABE，

∴∠BQD＝∠BAD＝90°，

∴点Q的运动轨迹是以BD为直径的，所对的圆心角是90°，

∵AB＝12，

∴BD＝AB＝12，

∴点Q的运动路径长＝＝3π，

点Q的运动路径如图1所示：

∵AE＝6，

∴AE＝AG＝BD＝OD，

当B、E、G三点共线，且OG＝OD时，Q与G重合，如图2所示：

则△OAG是等边三角形，

∴∠GAO＝60°，

∵∠DAC＝45°，

∴∠BAE＝∠DAG＝60°﹣45°＝15°，

∴当α＝15°时，点G恰好在点Q运动的路径上．