Question

如图，在Rt△ABC中，已知∠B=90°，∠C=30°，点D是BC的中点，求sin∠DAC．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：作DE⊥AC于E，在Rt△ADE中，先解Rt△DEC，得出CD=2DE=2k，由点D是BC的中点，得到BD=CD=2k，BC=2CD=4k．再解Rt△ABC，求出AB=BC•tanC=4k×

3

3

=

4 3

3

k．在Rt△ABD中，利用勾股定理得出AD=

AB2+BD2

=

2 21

3

k．然后在Rt△ADE中，利用正弦函数的定义即可求解．

解答：解：过D作DE⊥AC于E，
设DE=k．
在Rt△DEC中，∵∠DEC=90°，∠C=30°，
∴CD=2DE=2k，
∵点D是BC的中点，
∴BD=CD=2k，BC=2CD=4k．
在Rt△ABC中，∵∠B=90°，∠C=30°，
∴AB=BC•tanC=4k×

3

3

=

4 3

3

k．
在Rt△ABD中，∵∠B=90°，
∴AD=

AB2+BD2

=

( 4 3 3 k)2+(2k)2

=

2 21

3

k．
在Rt△ADE中，∵∠DEA=90°，
∴sin∠DAC=

DE

AD

=

k

2 21 3 k

=

21

14

．

点评：本题考查了解直角三角形，勾股定理，锐角三角函数的定义，关键是正确作出辅助线进行求解，难度适中．