Question

【题目】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，点B位于(4，0)、(5，0)之间，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，直线y＝﹣x+c与抛物线y＝ax2+bx+c交于C，D两点，D点在x轴上方且横坐标小于5，则下列结论：①4a+b+c＞0；②a﹣b+c＜0；③m（am+b）＜4a+2b（其中m为任意实数）；④a＜﹣1，其中正确的是（ ）

A.①②③④B.①②③C.①②④D.①③④

Answer 1

【答案】C

【解析】

由对称轴为直线x=2可知b=-4a，根据抛物线与y轴交点可知c＞0，可判定①正确；由对称轴及点B横坐标在4和5之间，可得A点的横坐标在-1和0之间，可得x=-1时，y＜0，可判定②正确；根据x=2时抛物线取最大值可得m（am+b）≤4a+2b，可判定③错误；联立抛物线和一次函数解析式，可用a、b表示出D点横坐标，根据b=-4a，D点在x轴上方且横坐标小于5列不等式可求出a的取值范围，可判定④正确；综上即可得答案．

∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝2，

∴=2，即b=-4a，

∵抛物线与y轴交于正半轴，

∴c＞0，

∴4a+b+c=4a-4a+c=c＞0，故①正确，

∵点B位于(4，0)、(5，0)之间，对称轴为直线x=2，

∴点A位于（0，0）、（-1，0）之间，

∴x=-1时，y=a-b+c＜0，故②正确，

∵对称轴为直线x=2，

∴x=2时，y取最大值，

∴am2+bm+c≤4a+2b+c，

∴m(am+b)≤4a+2b，故③错误，

联立抛物线和一次函数解析式得，

∴ax2+bx=-x，

解得：x1=0，x2=，

∵C（0，c），

∴D点横坐标为，

∵抛物线开口向下，

∴a＜0，

∵D点在x轴上方且横坐标小于5，b=-4a，

∴＜5，即，

解得：a＜-1，故④正确，

综上所述：正确的结论有①②④，

故选：C．