Question

已知关于x的一元二次方程x²-3x+k-1=0有实数根，k为正整数．
（1）求k的值；
（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x的二次函数y=x²-3x+k-1的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；
（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y轴左侧的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G．当直线y=5x+b与图象G有3个公共点时，请你直接写出b的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：压轴题

分析：（1）利用根的判别式列出不等式求解得到k的取值范围，再根据k为正整数解答；
（2）根据k的值分别对根的情况作出判断，然后根据方程有两个不为0的整数根确定出k值，再根据向下平移纵坐标减求解即可；
（3）求出直线与抛物线y轴右侧部分有一个交点时的b的值，再求出直线与翻折的抛物线部分有一个交点时b的值，然后写出b的取值范围即可．

解答：解：∵方程有实数根，
∴△=（-3）²-4（k-1）≥0，
解得k≤

13

4

，
∵k为正整数，
∴k的值为1，2，3；

（2）当k=1时，x²-3x=0，
显然，方程有一个根为0，
当k=2时，x²-3x+1=0，
△=（-3）²-4（2-1）=5，
方程有两个不相等的实数根，
当k=3时，x²-3x+2=0，
解得x₁=1，x₂=2，
∵方程有两个不为0的整数根，
∴k=3，
∴二次函数为y=x²-3x+2，
∵二次图象向下平移2个单位，
∴平移后的函数图象的解析式为y=x²-3x；

（3）当直线y=5x+b经过点（0，0）时，b=0，
联立

y=5x+b y=x2-3x

，
消掉y得，x²-8x-b=0，
两函数图象有一个交点时，△=（-8）²-4×1×（-b）=0，
解得b=-16，
翻折后的抛物线的解析式为y=-x²+3x，
联立

y=-x2+3x y=5x+b

，
消掉y得，x²+2x+b=0，
两函数图象有一个交点时，△=2²-4×1×b=0，
解得b=1，
所以，直线y=5x+b与图象G有3个公共点时，b的取值范围为-16＜b＜1．

点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了根的判别式，两函数图象的交点问题，难点在于（3）求出直线与抛物线右侧部分图象有一个交点的情况，作出图形更形象直观．