Question

【题目】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+2的图象与x轴交于A(﹣3，0)，B(1，0)两点，与y轴交于点C．

（1）求这个二次函数的关系解析式；

（2）求直线AC的函数解析式；

（3）点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点P，使△ACP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2﹣x+2；（2）；（3）存在，()

【解析】

（1）直接用待定系数法即可解答；

（2）先确定C点坐标，设直线AC的函数解析式y=kx+b，最后用待定系数法求解即可；

（3）连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N，然后求出△ACP面积的表达式，最后利用二次函数的性质求最值即可．

解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+2过点A（﹣3，0），B（1，0），

∴

解得，

∴二次函数的关系解析式为y=﹣x2﹣x+2；

（2）∵当x=0时，y=2，

∴C（0，2）

设直线AC的解析式为，把A、C两点代入得

解得

∴直线AC的函数解析式为；

（3）存在．

如图: 连接PO，作PM⊥x轴于M，PN⊥y轴于N

设点P坐标为（m，n）,则n=），PN=-m，AO=3

当x=0时，y==2，

∴点C的坐标为（0,2），OC=2

∵

=

∵a=-1<0

∴函数S△PAC=-m2-3m有最大值

∴b当m=

∴当m=时，S△PAC有最大值n=

∴当△ACP的面积最大时，P的坐标为（）．