Question

当a取什么整数时，方程

x

x-2

+

x-2

x

+

2x+a

x(x-2)

=0只有一个实根，并求此实根．

Answer 1

考点：分式方程的解

专题：

分析：先将原方程化为

2x2-2x+4+a

x(x-2)

=0，再分三种情况进行讨论：（1）若x≠0且x≠2，则2x²-2x+4+a=0，由原分式方程恰有一个实根，得出△=（-2）²-4×2×（4+a）=-28-8a=0，依此求出a的值；（2）若方程2x²-2x+4+a=0，有一个根为x=0，代入求出a=-4，再解方程即可；（3）若方程2x²-2x+4+a=0，有一个根为x=2，代入求出a=-8，再解方程即可．

解答：解：原方程化为

2x2-2x+4+a

x(x-2)

=0．
（1）若x≠0且x≠2，则2x²-2x+4+a=0，
∵原分式方程恰有一个实根，
∴△=0，即△=（-2）²-4×2×（4+a）=-28-8a=0，
则a=-

7

2

，
于是x₁=x₂=

1

2

，
但a取整数，则舍去；
（2）若方程2x²-2x+4+a=0，有一个根为x=0，则a=-4，
这时原方程为

x

x-2

+

x-2

x

+

2x-4

x(x-2)

=0，
去分母得2x²-2x=0，
解得x=0，x=1，
显然x=0是增根，x=1是原分式方程的根；
（3）若方程2x²-2x+4+a=0，有一个根为x=2，则a=-8，
这时，原方程为

x

x-2

+

x-2

x

+

2x-8

x(x-2)

=0，
去分母，得2x²-2x-4=0，
解得x=2，x=-1，
显然x=2是增根，x=-1是原分式方程的根；
经检验当a=-4时，原方程恰有一个实根x=1；当a=-8时，原方程恰有一个实根x=-1．

点评：本题考查了分式方程的解，理解分式方程产生增根的原因进而分情况讨论是解题的关键．