Question

如图，已知点P是⊙O外一点，PO交圆O于点C，OC=2，AB⊥OC，劣弧AB的度数为120°，连接PB．

（1）求征：OC=BC；

（2）当PB的长是多少时，PB是⊙O的切线？写出证明过程．

　

Answer 1

【考点】切线的判定．

【专题】证明题．

【分析】（1）根据垂径定理得OC平分劣弧AB，则劣弧AC和劣弧BC的度数为60°，则利用圆心角的度数等于它所对弧的度数得∠COB=60°，连接OB，如图，易证得△OBC是等边三角形，所以BC=OC；

（2）由△OBC是等边三角形，则BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，所以当∠P=30°时，∠OBP=90°，则根据切线的判定定理可判断此时PB是⊙O的切线，利用含30度的直角三角形三边的关系得到PB=OB=2，即当PB=2时，PB是⊙O的切线．

【解答】（1）证明：∵AB⊥OC，

∴OC平分劣弧AB，

∵劣弧AB的度数为120°，

∴劣弧AC和劣弧BC的度数为60°，

即∠COB=60°，

连接OB，如图，

∵OC=OB，∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴BC=OC；

（2）当PB=2时，PB是⊙O的切线．

证明如下：∵△OBC是等边三角形，

∴BC=OC=OB=2，∠BOP=60°，

当∠P=30°时，∠OBP=90°，

∴OB⊥PB，

∴此时PB是⊙O的切线，

∴PB=OB=2．．

【点评】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．记住含30度的直角三角形三边的关系．