Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+3交x轴于A、B两点（A在B左边），交y轴于C点，且OC=3OA，对称轴x=1交抛物线于D点．

（1）求抛物线解析式；

（2）在直线BC上方的抛物线上找点E使S_△BCD=S_△BCE，求E点的坐标；

（3）在x轴上方的抛物线上，是否存在点M，过M作MN⊥x轴于N点，使△BMN与△BCD相似？若存在，请求出M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【考点】二次函数综合题．

【分析】（1）将x=0代入可求得y=3，故此可知C（0，3），OC=3，OA=1，则点A的坐标为（﹣1，0），由点B与点A关于x=1对称可知B（3，0），将点A、点B的坐标代入抛物线的解析式，从而可求得a=﹣1，b=2；

（2）过D点作DE∥BC交抛物线y=﹣x²+2x+3于E点，由△BCD与△BCE是同底等高的三角形可知S_△BCD=S_△BCE，设直线DE的解析式为y=﹣x+b，将点D的坐标代入可求得直线DE的解析式，然后与抛物线的解析式联立可求得点E的坐标；

（3）由两点间的而距离公式可知：BC=3，CD=，设M（x，y），则MN=y=﹣x²+2x+3，BN=3﹣x，然后根据相似三角形的性质列出关于x的方程，从而可求得点M的坐标．

【解答】解：（1）∵将x=0代入得y=3，

∴C（0，3）．

∵OC=3OA，

∴OA=1．

∴A（﹣1，0）．

∵点B与点A关于x=1对称，

∴B（3，0）．

将A（﹣1，0），B（3，0）代入y=ax²+bx+3得：，

解得：．

∴抛物线解析式为y=﹣x²+2x+3．

（2）∵将x=1代入抛物线的解析式得：y=﹣1+2+3=4，

∴D（1，4）．

如图1，过D点作DE∥BC交抛物线y=﹣x²+2x+3于E点．

设直线DE的解析式为y=﹣x+b，

将点D的坐标代入得：﹣1+b=4，解得：b=5，则直线DE的解析式为y=﹣x+5．

将y=﹣x+5与y=﹣x²+2x+3联立得：，

解得：（舍去），．

∴E（2，3）．

（3）存在．

由两点间的而距离公式可知：BC=3，CD==．

设M（x，y），则MN=y=﹣x²+2x+3，BN=3﹣x．

①如图2所示：

∵当△BMN∽△DBC时，，

∴．

解得：x₁=2，x₂=3（舍去）．

∵当x=2时，y=3，

∴M（2，3）．

②如图3所示：

 

∵当△BMN∽△BDC时，，

∴．

解得：x₁=﹣，x2=3（舍去）．

当x=﹣时，y=，

∴M（﹣，）

综上，存在点M（2，3）或（﹣，），使△BMN与△BCD相似．

【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，本题主要涉及了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、一次函数与二次函数图象的交点、相似三角形的性质和判定等知识点，依据相似三角形的性质列出关于x的方程是解题的关键．