Question

【题目】已知⊙O为△ABC的外接圆，直线l与⊙O相切于点P,且∥BC.

（1） 连接PO，并延长交⊙O于点D，连接AD.证明： AD平分∠BAC；

（2） 在（1）的条件下，AD交BC于点E，连接CD.若DE＝2，AE＝6.试求CD的长.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）CD=4.

【解析】试题分析：（1）由切线的性质得到PD⊥l，再由∥BC，得到PD垂直平分弦BC，由垂径定理得到弧BD=弧DC，即可得到结论；

（2）证明△ADC∽△CDE，由相似三角形的对应边成比例即可得到结论．

试题解析：解：（1）∵与⊙O相切于点P，∴PD⊥l．∵ ∥BC，∴PD⊥BC，∴ PD平分弦BC ，∴弧BD=弧DC ， ∴∠BAD=∠DAC ，即AD平分∠BAC；

（2）∠BAD=∠BCD且∠BAD=∠DAC，∴ ∠DAC=∠BCD．

在△ADC和△CDE中

∵∠DAC=∠BCD，∠ADC=∠EDC，∴△ADC∽△CDE ，

∴， ，∴DC=4．