Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图，其对称轴x=-1，给出下列结论：①b²＞4ac；②abc＞0；③2a+b=0；④a+b+c＞0；⑤a-b+c＜0，其中正确的结论是

 

（填正确的序号）．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线与x轴有2个交点得到b²-4ac＞0，即b²＞4ac；由抛物线开口方向得到a＞0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=1得到b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，所以abc＜0；由x=1时，函数值为正数得到a+b+c＞0；由x=-1时，函数值为负数得到a-b+c＜0．

解答：解：∵抛物线与x轴有2个交点，
∴b²-4ac＞0，
即b²＞4ac，所以①正确；
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以②错误；
∵b=2a，
∴2a-b=0，所以③错误；
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，所以④正确；
∵x=-1时，y＜0，
∴a-b+c＜0，所以⑤正确．
故答案为①④⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0．