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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB1BC3

1)在图中,PBC上一点,EF垂直平分AP,分别交ADBC边于点EF,求证:四边形AFPE是菱形;

2)在图中利用直尺和圆规作出面积最大的菱形,使得菱形的四个顶点都在矩形ABCD的边上,并直接标出菱形的边长.(保留作图痕迹,不写作法)

【答案】1)见解析;(2)见解析

【解析】

1)根据矩形的性质和EF垂直平分AP推出AFPFAEPE即可判断;

2)以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线,此时的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形.

1)证明:如图①

∵四边形ABCD是矩形,

ADBC

∴∠1=∠2

EF垂直平分AP

AFPFAEPE

∴∠2=∠3

∴∠1=∠3

AEAF

AFPFAEPE

∴四边形AFPE是菱形;

2)如图②,以矩形的一条对角线和这条对角线的垂直平分线作菱形的对角线,连接各个点,所得的菱形即为矩形ABCD内面积最大的菱形;

此时设菱形边长为x

则可得12+3-x2=x2

解得x=

所以菱形的边长为

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①m n

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