Question

【题目】九二班计划购买A、B两种相册共42册作为毕业礼品，已知A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同．

（1）求A、B两种相册的单价分别是多少元？

（2）由于学生对两类相册喜好不同，经调查得知：购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的，如果设买A种相册x册．

①有多少种不同的购买方案？

②商店为了促销，决定对A种相册每册让利a元销售（12≤a≤18），B种相册每册让利b元销售，最后班委会同学在付款时发现：购买所需的总费用与购买的方案无关，当总费用最少时，求此时a的值．

Answer 1

【答案】（1）A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元；（2）①x可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案；②18．

【解析】

(1)设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，根据“A种相册的单价比B种的多10元，买4册A种相册与买5册B种相册的费用相同”，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论；

(2)①根据“购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的 ，但又不少于B种相册数量的 ”，即可得出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出x的可能值，进而可得出购买方案的种数；

②设购买总费用为w元，根据总价＝单价×数量，即可得出w关于x的函数关系式，由购买所需的总费用与购买的方案无关可得出b＝a﹣10，进而可得出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．

解：（1）设A种相册的单价为m元，B种相册的单价为n元，

依题意，得： ，

解得： ．

答：A种相册的单价为50元，B种相册的单价为40元．

（2）①根据购买的A种相册的数量要少于B种相册数量的，但又不少于B种相册数量的得：

，

解得：12≤x＜18．

又∵x为正整数，

∴x可取12、13、14、15、16、17，共6种不同的购买方案．

②设购买总费用为w元，

依题意得：w＝(50﹣a）x+(40﹣b)(42﹣x)＝(10﹣a+b)x+42(40﹣b)．

∵购买所需的总费用与购买的方案无关，则w的值与x无关，

∴10﹣a+b＝0，

∴b＝a﹣10，

∴w＝42(40-b)＝42[40-(a-10)]＝﹣42a+2100．

∵﹣42＜0，

∴w随a的增大而减小．

又∵12≤a≤18，

∴当a＝18时，w取得最小值．

答：当总费用最少时，a的值为18．