Question

【题目】如图1，四边形是矩形，点的坐标为，点的坐标为.点从点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点运动，同时点从点出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点运动，当点与点重合时运动停止.设运动时间为秒.

（1）当时，线段的中点坐标为________；

（2）当与相似时，求的值；

（3）当时，抛物线经过、两点，与轴交于点，抛物线的顶点为，如图2所示.问该抛物线上是否存在点，使，若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）的中点坐标是；（2）或；（3），.

【解析】（1）先根据时间t=2，和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长，再根据中点坐标公式可得结论；

（2）根据矩形的性质得：∠B=∠PAQ=90°，所以当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，，②当△PAQ∽△CBQ时，，分别列方程可得t的值；

（3）根据t=1求抛物线的解析式，根据Q（3，2），M（0，2），可得MQ∥x轴，∴KM=KQ，KE⊥MQ，画出符合条件的点D，证明△KEQ∽△QMH，列比例式可得点D的坐标，同理根据对称可得另一个点D．

（1）如图1，∵点A的坐标为（3，0），

∴OA=3，

当t=2时，OP=t=2，AQ=2t=4，

∴P（2，0），Q（3，4），

∴线段PQ的中点坐标为：（，），即（，2）；

故答案为：（，2）；

（2）如图1，∵四边形OABC是矩形，

∴∠B=∠PAQ=90°

∴当△CBQ与△PAQ相似时，存在两种情况：

①当△PAQ∽△QBC时，，

∴，

4t2-15t+9=0，

（t-3）（t-）=0，

t1=3（舍），t2=，

②当△PAQ∽△CBQ时，，

∴，

t2-9t+9=0，

t=，

∵0≤t≤6，＞7，

∴x=不符合题意，舍去，

综上所述，当△CBQ与△PAQ相似时，t的值是或；

（3）当t=1时，P（1，0），Q（3，2），

把P（1，0），Q（3，2）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得：，

∴抛物线：y=x2-3x+2=（x-）2-，

∴顶点k（，-），

∵Q（3，2），M（0，2），

∴MQ∥x轴，

作抛物线对称轴，交MQ于E，

∴KM=KQ，KE⊥MQ，

∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ，

如图2，∠MQD=∠MKQ=∠QKE，设DQ交y轴于H，

∵∠HMQ=∠QEK=90°，

∴△KEQ∽△QMH，

∴，

∴，

∴MH=2，

∴H（0，4），

易得HQ的解析式为：y=-x+4，

则，

x2-3x+2=-x+4，

解得：x1=3（舍），x2=-，

∴D（-，）；

同理，在M的下方，y轴上存在点H，如图3，使∠HQM=∠MKQ=∠QKE，

由对称性得：H（0，0），

易得OQ的解析式：y=x，

则，

x2-3x+2=x，

解得：x1=3（舍），x2=，

∴D（，）；

综上所述，点D的坐标为：D（-，）或（，）．