【题目】如图1,四边形是矩形,点
的坐标为
,点
的坐标为
.点
从点
出发,沿
以每秒1个单位长度的速度向点
运动,同时点
从点
出发,沿
以每秒2个单位长度的速度向点
运动,当点
与点
重合时运动停止.设运动时间为
秒.
(1)当时,线段
的中点坐标为________;
(2)当与
相似时,求
的值;
(3)当时,抛物线
经过
、
两点,与
轴交于点
,抛物线的顶点为
,如图2所示.问该抛物线上是否存在点
,使
,若存在,求出所有满足条件的
点坐标;若不存在,说明理由.
【答案】(1)的中点坐标是
;(2)
或
;(3)
,
.
【解析】(1)先根据时间t=2,和速度可得动点P和Q的路程OP和AQ的长,再根据中点坐标公式可得结论;
(2)根据矩形的性质得:∠B=∠PAQ=90°,所以当△CBQ与△PAQ相似时,存在两种情况:
①当△PAQ∽△QBC时,,②当△PAQ∽△CBQ时,
,分别列方程可得t的值;
(3)根据t=1求抛物线的解析式,根据Q(3,2),M(0,2),可得MQ∥x轴,∴KM=KQ,KE⊥MQ,画出符合条件的点D,证明△KEQ∽△QMH,列比例式可得点D的坐标,同理根据对称可得另一个点D.
(1)如图1,∵点A的坐标为(3,0),
∴OA=3,
当t=2时,OP=t=2,AQ=2t=4,
∴P(2,0),Q(3,4),
∴线段PQ的中点坐标为:(,
),即(
,2);
故答案为:(,2);
(2)如图1,∵四边形OABC是矩形,
∴∠B=∠PAQ=90°
∴当△CBQ与△PAQ相似时,存在两种情况:
①当△PAQ∽△QBC时,,
∴,
4t2-15t+9=0,
(t-3)(t-)=0,
t1=3(舍),t2=,
②当△PAQ∽△CBQ时,,
∴,
t2-9t+9=0,
t=,
∵0≤t≤6,>7,
∴x=不符合题意,舍去,
综上所述,当△CBQ与△PAQ相似时,t的值是或
;
(3)当t=1时,P(1,0),Q(3,2),
把P(1,0),Q(3,2)代入抛物线y=x2+bx+c中得:
,解得:
,
∴抛物线:y=x2-3x+2=(x-)2-
,
∴顶点k(,-
),
∵Q(3,2),M(0,2),
∴MQ∥x轴,
作抛物线对称轴,交MQ于E,
∴KM=KQ,KE⊥MQ,
∴∠MKE=∠QKE=∠MKQ,
如图2,∠MQD=∠MKQ=∠QKE,设DQ交y轴于H,
∵∠HMQ=∠QEK=90°,
∴△KEQ∽△QMH,
∴,
∴,
∴MH=2,
∴H(0,4),
易得HQ的解析式为:y=-x+4,
则,
x2-3x+2=-x+4,
解得:x1=3(舍),x2=-,
∴D(-,
);
同理,在M的下方,y轴上存在点H,如图3,使∠HQM=∠MKQ=∠QKE,
由对称性得:H(0,0),
易得OQ的解析式:y=x,
则,
x2-3x+2=x,
解得:x1=3(舍),x2=,
∴D(,
);
综上所述,点D的坐标为:D(-,
)或(
,
).
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】.如图所示,已知△ABC和△BDE都是等边三角形,下列结论:①AE=CD;②BF=BG;③BH平分∠AHD;④∠AHC=60°;⑤△BFG是等边三角形;⑥FG∥AD,其中正确的有( )
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=--x+8与x轴,y轴分别交于点A,点B,点D在y轴的负半轴上,若将△DAB沿直线AD折叠,点B恰好落在x轴正半轴上的点C处.
(1)求AB的长和点C的坐标;
(2)求直线CD的表达式.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,抛物线L1:y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)和点B(5,0)已知直线l的解析式为y=kx﹣5.
(1)求抛物线L1的解析式、对称轴和顶点坐标.
(2)若直线l将线段AB分成1:3两部分,求k的值;
(3)当k=2时,直线与抛物线交于M、N两点,点P是抛物线位于直线上方的一点,当△PMN面积最大时,求P点坐标,并求面积的最大值.
(4)将抛物线L1在x轴上方的部分沿x轴折叠到x轴下方,将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象记为L2
①直接写出y随x的增大而增大时x的取值范围;
②直接写出直线l与图象L2有四个交点时k的取值范围.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】材料一:我们可以将任意三位数记为,(其中
、
、
分别表示该数的百位数字,十位数字和个位数字,且
),显然
.
材料二:若一个三位数的百位数字,十位数字和个位数字均不为0,则称之为初始数,比如123就是一个初始数,将初始数的三个数位上的数字交换顺序,可产生出5个新的初始数,比如由123可以产生出132,213,231,312,321这5个新初始数,这6个初始数的和成为终止数.
(1)求初始数125生成的终止数;
(2)若一个初始数,满足
,且
,记
,
,
,若
,求满足条件的初始数的值.
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【题目】如图1,图形ABCD是由两个二次函数y1=kx2+m(k<0)与y2=ax2+b(a>0)的部分图象围成的封闭图形.已知A(1,0)、B(0,1)、D(0,﹣3).
(1)直接写出这两个二次函数的表达式;
(2)判断图形ABCD是否存在内接正方形(正方形的四个顶点在图形ABCD上),并说明理由;
(3)如图2,连接BC,CD,AD,在坐标平面内,求使得△BDC与△ADE相似(其中点C与点E是对应顶点)的点E的坐标
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】2020年是全面建成小康社会收官之年,某扶贫帮扶小组积极响应,对农民实施精准扶贫.某农户老张家种植花椒和黑木耳两种干货共800千克,扶贫小组通过市场调研发现,花椒市场价60元/千克,黑木耳市场价48元/千克,老张全部售完可以收入4.2万元.已知老张种植花椒成本需25元/千克,种植木耳成本需35元/千克,根据脱贫目标任务要求,老张种植花椒和黑木耳的两种干货的纯收入(销售收入-种植成本)在2万元以上才可以顺利脱贫.请你分析一下扶贫帮扶小组是否能帮助老张顺利脱贫.
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