Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中(如图)，已知抛物线y=ax2+4ax+c(a≠0)经过A(0，4)，B(﹣3，1)，顶点为C．

(1)求该抛物线的表达方式及点C的坐标；

(2)将(1)中求得的抛物线沿y轴向上平移m(m＞0)个单位，所得新抛物线与y轴的交点记为点D．当△ACD时等腰三角形时，求点D的坐标；

(3)若点P在(1)中求得的抛物线的对称轴上，联结PO，将线段PO绕点P逆时针转90°得到线段PO′，若点O′恰好落在(1)中求得的抛物线上，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+4x+4，C坐标为（﹣2，0）；（2）D坐标为（0，2+4）；（3）P的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣1）

【解析】

（1）将A与B坐标代入抛物线解析式中求出a与c的值，即可确定出抛物线解析式，配方后即可求出顶点C的坐标；
（2）由平移规律即C的坐标表示出D的坐标，在直角三角形AOC中，由OA与OC的长，利用勾股定理求出AC的长，由图形得到∠DAC为钝角，三角形ACD为等腰三角形，只有DA=AC，求出DA的长，即为m的值，即可确定出D的坐标；
（3）由P在抛物线的对称轴上，设出P坐标为（-2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，由旋转的性质得到一对边相等，再由同角的余角相等得到一对角相等，根据一对直角相等，利用AAS得到△PCO≌△PNO′，由全等三角形的对应边相等得到O′N=OC=2，PN=PC=|n|，再由PCMN为矩形得到MN=PC=|n|，分n大于0与小于0两种情况表示出O′坐标，将O′坐标代入抛物线解析式中求出相应n的值，即可确定出P的坐标．

（1）将A，B坐标分别代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4=（x+2）2，
∴顶点C坐标为（-2，0）；

（2）由题意得：D（0，m+4），

在Rt△AOC中，OA=4，OC=2，

根据勾股定理得： ，

由图形得到∠DAC为钝角，要使△ACD为等腰三角形，只有DA=AC=2，

∴DA=m=2，

则D坐标为（0，2+4）；

（3）设P（﹣2，n），如图所示，过O′作O′M⊥x轴，交x轴于点M，过P作PN⊥O′M，垂足为N，

易得PO=PO′，∠PCO=∠PNO′=90°，∠CPO=∠NPO′，

∴△PCO≌△PNO′（AAS），

∴O′N=OC=2，PN=PC=|n|，

∵四边形PCMN为矩形，

∴MN=PC=|n|，

①当n＞0时，O′（n﹣2，n+2），代入抛物线解析式得：n2﹣n﹣2=0，

解得：n=2或n=﹣1（舍去）；

②当n＜0时，O′（n﹣2，n+2），代入抛物线解析式得：n2﹣n﹣2=0，

解得：n=2（舍去）或n=﹣1，

综上①②得到n=2或﹣1，

则P的坐标为（﹣2，2），（﹣2，﹣1）．