Question

6．如图，抛物线y=-x²+tx（t＞1）与x轴的一个交点为P（t，0），点A，B的坐标分别为A（1，0），B（4，0），分别过点A，B作y轴的平行线，交抛物线于点M，N，连结MN，PM和PN，设△MNP的面积为S．
（1）证明：对于任何t（t＞1），都有∠APM=45°；
（2）当t＞4时，求S与t的函数关系式；
（3）当t＞4且$S=\frac{21}{8}$时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数图象上点的坐标性质AM，AP的长，进而得出答案；
（2）利用S=S_△BPN+S_梯形NBAM-S_△PAM，进而得出S与t的关系式；
（3）利用$S=\frac{21}{8}$，进而解方程得出答案．

解答 （1）证明：如图所示：∵点M在抛物线上，
∴点M的横坐标为1，纵坐标为t-1（t＞1），
∴AM=t-1，又AP=t-1，∴AM=AP，
∵MA⊥AP，∴∠APM=∠AMP=45°；        

（2）解：如图所示：当t＞4时，
AP=t-1，BN=4t-16，AM=t-1，BP=t-4，
S=S_△BPN+S_梯形NBAM-S_△PAM，
S=$\frac{1}{2}$×3（t-1+4t-16）+$\frac{1}{2}$（t-4）（4t-16）-$\frac{1}{2}$（t-1）²，
∴S=$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{2}$t+6（t＞4）；                    

（3）解：令$\frac{3}{2}$t²-$\frac{15}{2}$t+6=$\frac{21}{8}$，
解得：t₁=$\frac{1}{2}$，t₂=$\frac{9}{2}$，
∵t＞4，∴${t_1}=\frac{1}{2}$舍去，
∴$t=\frac{9}{2}$．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及图形面积求法、一元二次方程的解法等知识，正确表示出BN，AM的长是解题关键．