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    【题目】已知四边形ABCD的对角线AC=8，BD=6，且，P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点，则PR2+QS2的值是__________．

    【答案】118

    【解析】

    连接PQ，QR，RS，SQ，易证四边形PQRS是平行四边形，因为AC⊥BD，所以PQ⊥QR，所以四边形PQRS为矩形，进而可得PR2+QS2=PQ2+QR2+QR2+SR2=118，问题得解．

    连接PQ，QR，RS，SQ，

    P、Q、R、S分别是AB、BC、CD、DA的中点，

    ∴

    ∴PS∥BD,QR∥BD,

    ∴四边形PQRS是平行四边形，

    ∵AC⊥BD，

    ∴PQ⊥QR，

    ∴四边形PQRS为矩形，

    ∴PR2+QS2=PQ2+QR2+QR2+SR2==118，

    故答案为：118

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    （1）点A的坐标为　 　，点B的坐标为　 　，∠OAB=　 　°；

    （2）在运动过程中，点P的坐标为　 　，⊙P的半径为　 　（用含t的代数式表示）；

    （3）当⊙P与直线AB相交于点E、F时

    ①如图2，求t=时，弦EF的长；

    ②在运动过程中，是否存在以点P为直角顶点的Rt△PEF，若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由（利用图1解题）．

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    （1）求证：CF为⊙O的切线；

    （2）填空：当∠CAB的度数为________时，四边形ACFD是菱形．

    【答案】30°

    【解析】（1）连结OC，如图，由于∠A=∠OCA，则根据三角形外角性质得∠BOC=2∠A，而∠ABD=2∠BAC，所以∠ABD=∠BOC，根据平行线的判定得到OC∥BD，再CE⊥BD得到OC⊥CE，然后根据切线的判定定理得CF为⊙O的切线；
    （2）根据三角形的内角和得到∠F=30°，根据等腰三角形的性质得到AC=CF，连接AD，根据平行线的性质得到∠DAF=∠F=30°，根据全等三角形的性质得到AD=AC，由菱形的判定定理即可得到结论．

    答：

    (1)证明：连结OC，如图，

    ∵OA=OC，

    ∴∠A=∠OCA，

    ∴∠BOC=∠A+∠OCA=2∠A，

    ∵∠ABD=2∠BAC，

    ∴∠ABD=∠BOC，

    ∴OC∥BD，

    ∵CE⊥BD，

    ∴OC⊥CE，

    ∴CF为⊙O的切线;

    (2)当∠CAB的度数为30°时，四边形ACFD是菱形，理由如下：

    ∵∠A=30°，

    ∴∠COF=60°，

    ∴∠F=30°，

    ∴∠A=∠F，

    ∴AC=CF，

    连接AD，

    ∵AB是⊙O的直径，

    ∴AD⊥BD，

    ∴AD∥CF，

    ∴∠DAF=∠F=30°，

    在△ACB与△ADB中,

    ，

    ∴△ACB≌△ADB，

    ∴AD=AC，

    ∴AD=CF，

    ∵AD∥CF，

    ∴四边形ACFD是菱形。

    故答案为：30°.

    【题型】解答题
    【结束】
    22

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    （2）当∠ACB=∠ABD时，∠ABC= °；

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    A. B. C. D.

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