Question

如图，AB是⊙O的直径，弦DE垂直平分半径OA，C为垂足，弦DF与半径OB相交于点P，连接EF、EO，若DE=4

3

，∠D=45°．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．

Answer 1

考点：垂径定理,勾股定理,扇形面积的计算

专题：计算题

分析：（1）根据垂径定理得CE=

1

2

DE=2

3

，而弦DE平分半径OA，所以OC=

1

2

OE，根据含30度的直角三角形三边的关系得到∠CEO=30°，则OC=

3

3

CE=2，所以OE=4；
（2）先利用圆周角定理得到∠EOF=2∠D=90°，然后扇形的面积公式和图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△EOF进行计算即可．

解答：解：（1）∵OA⊥DE，
∴CD=CE=

1

2

DE=2

3

，
∵弦DE平分半径OA，
∴OC=

1

2

OE，
∴∠CEO=30°，
∴OC=

3

3

CE=

3

3

•2

3

=2，
∴OE=2OC=4，
即⊙O的半径为4；
（2）∵∠EOF=2∠D=2×45°=90°，
∴图中阴影部分的面积=S_扇形EOF-S_△EOF
=

90•π•42

360

-

1

2

•4²
=4π-8．

点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了扇形的面积公式．