Question

14．如图，一个粒子在第一象限和x，y轴的正半轴上运动，在第一秒内，它从原点运动到（0，1），接着它按图所示在x轴、y轴的平行方向来回运动，[即（0，0）→（0，1）→（1，1）→（1，0）→（2，0）→…]且每秒运动一个单位长度，那么2015秒时，这个粒子所处位置为（9，44）．

Answer 1

分析 该题是点的坐标规律，通过对部分点分析，发现实质上是数列问题．设粒子运动到A₁，A₂，…A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…a_n，则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，由a_n-a_n-1=2n，则
a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
a₄-a₃=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2n，
以上相加得到a_n-a₁的值，进而求得a_n来解．

解答 解：由题意，
设粒子运动到A₁，A₂，…，A_n时所用的间分别为a₁，a₂，…，a_n，
则a₁=2，a₂=6，a₃=12，a₄=20，…，a_n-a_n-1=2n，
a₂-a₁=2×2，
a₃-a₂=2×3，
a₄-a₃=2×4，
…，
a_n-a_n-1=2n，
相加得：
a_n-a₁=2（2+3+4+…+n）=n²+n-2，
∴a_n=n（n+1）．
44×45=1980，故运动了1980秒时它到点A₄₄（44，44）；
又由运动规律知：A₁，A₂，…，A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动．
故达到A₄₄（44，44）时向左运动35秒到达点（9，44），
即运动了2015秒．所求点应为（9，44）．
故答案为：（9，44）

点评 本题考查了平面直角坐标系内点的运动规律，分析粒子在第一象限的运动规律得到数列{a_n}通项的递推关系式a_n-a_n-1=2n是本题的突破口，本题对运动规律的探索可知知：A₁，A₂，…A_n中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，找到这个规律是解题的关键．